что такое аксиома в математике
Что такое Аксиома
Аксиома (от др. греч. ἀξίωμα (axioma) — значимое, принятое положение) — это правило, которое считается верным без необходимости представления доказательств.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, который предполагает разрабатывать аксиомы, а потом формулировать новые теоремы с помощью этих аксиом.
Теорема — это заявление, которое строится на аксиомах и других теоремах, доказанных ранее, и доказывается исходя из них.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Примеры
История аксиомы
Аксиоматический метод появился в древней Греции. Термин аксиома встречается у древнегреческих философов Аристотеля (384–322 гг. до н. э.) и Евклида (325–265 гг. до н. э.).
Аксиомы Евклида
Самой известной аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых. Он сформулировал её в своей книге «Начала».
Аксиома звучит так: через любую точку, которая расположена вне данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной.
Т. е. если дана прямая и любая точка (которая не лежит на этой прямой), то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
Следствия из аксиомы
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда
Для отрезков: если на прямой имеются два отрезка А (меньший из них) и B, то, складывая А достаточное количество раз, можно будет покрыть больший (B).
Другими словами, Архимед утверждал, что не существуют бесконечно малые и бесконечно большие величины. В качестве математической формулы аксиому можно записать так:
где n — это натуральное число.
Теорема
Теорема (др.-греч. θεώρημα (theorema)) — теория, при доказательстве которой нужно опираться на аксиомы, другие теоремы и использовать логику.
Теорема Пифагора
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Одно из возможных доказательств этой теоремы гласит: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов.
Теорема косинусов
Для плоского треугольника: квадрат одной стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
То есть, если у нас есть плоский треугольник с тремя сторонами a, b и c и углом альфа (α), который находится напротив стороны a (как показано на картинке ниже),
то справедливо следующее равенство: квадрат стороны a равен сумме квадратов двух других сторон (b и c) минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними (α) (как показано на формуле сверху).
Следствия из теоремы:
Формула выглядит так:
Есть также расширенная теорема синусов. Формула выглядит так:
a, b, c — стороны треугольника; α, β, γ — углы, которые находятся на противоположной стороне от этих сторон; R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Узнайте также, что такое Число Пи и Логарифм.
Правовая аксиома
Это правило, которое рассматривается как истина, не допускает иного толкования. По мнению некоторых учёных-правоведов, они закреплены в официальных документах — нормативно-правовых актах. Например, в Конституции России:
По мнению других учёных, такие правила появились как результат общественных отношений. Например:
Узнайте также, что такое Догма и Гипотенуза.
Так ли точна математика, как кажется?
Наверное, данный вопрос задавал себе каждый, чуточку интересующийся математикой человек. Прочитав статью 2 х 2 = 4, было сделано заключение, что эта тема также может понравиться хабралюдям. Речь пойдет об аксиомах в математике, противоречиях и парадоксах. Кому интересно — добро пожаловать под кат.
Вместо предисловия
Каждый из нас в школе не сомневался в справедливости тех или иных математических утверждений. Ну и правда, что учитель сказал, то и истина. Но, познакомившись со строгой математикой (не люблю слово «высшей»), мы начали понимать, что чем больше мы стараемся формализовать предмет, тем сложнее это сделать, а иногда совсем не получается.
Так нам привычные действительные числа, для Леопольда Кронекера не являлись таковыми, он говорил: «Бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»)
После того, как Георг Кантор доказал, что отрезок равномощен (А и B равномощны, если существует биекция между ними) n-мерному пространству, он провозгласил: «Я вижу это, но я не верю в это!» («Je le vois, mais je ne le crois pas!»)
Немного философии
Речь в этой статье пойдет об аксиоматике тех или иных математических множеств, операций и т.д., но все же закономерным вопросом будет, а зачем нам аксиомы вообще нужны? Приведу простой пример. Возьмем русский язык и слово, например, «дежавю». Посмотрим его значение, «Дежавю́ — психическое состояние, при котором человек ощущает, что он когда-то уже был в подобной ситуации». Но мы дотошные, посему теперь вместо одного слова перед нами возникнет куда больше. Что такое «психический», «состояние», «человек», «ощущать», «подобный», «ситуация». Как вы можете заметить, у нас получается дерево слов, а в силу того, что слов, имеющих значение в русском языке конечное множество, у нас получится путь в дереве, в котором встречается дважды одно и то же слово, т.е. мы определили его через самого себя.
Вот для этого и нужны аксиомы. Нам всегда нужен фундамент, с которого мы можем стартовать, что-то, что и так всем интуитивно понятно. Неточность 1. В математике часто бывают утверждения, интуитивно понятные, но приводящие к парадоксам. Например аксиома выбора(Axiom of Choice), но об этом мы поговорим чуть позже.
Больше конкретики. Аксиомы Пеано натуральных чисел.
Я, как программист, люблю считать, что 0 принадлежит натуральным числам, это удобно. Что-ж, теперь наиболее знаменитая аксиоматика Пеано.
1. 0 является натуральным числом.
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным.
3. 0 не следует ни за каким натуральным числом.
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c совпадают.
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 0 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Разберемся по-порядочку.
1-я аксиома говорит, что существует хотя бы одно натуральное число. Иначе бы мы сказали, что это вообще пустое множество и все аксиомы бы для него выполнялись бы.
2 и 3 вроде бы и так ясны.
4. Эта аксиома нужна для того, чтобы не появились «ответвления». Иначе мы могли бы сказать, что 3 следует за 2 и 2′, а дальше 2 и 2′ за 1 и 1′ соответственно, и т.д. В принципе, такая модель имеет право на существование, но на ней крайне сложно ввести отношение порядка.
5. Первый человек в очереди женщина. За каждой женщиной идет женщина. В реальной жизни это значит, что вся очередь состоит из женщин. А так как мы хотим описывать все же более жизненные объекты, то и вводим аксиому индукции, ибо из предыдущих она никак не следует.
Удобная модель, все отлично, все счастливы. Вопрос, в чем же подвох? Оказывается, что если мы добавим новое натуральное число с к нашим привычным натуральным числам и скажем, что оно больше всех наших привычных, то мы не придем ни к какому противоречию. Т.е. у нас есть не только наша модель N, но и, к примеру, N + Z. Где в N и Z (целые числа) обычное сравнение чисел, а также любое число из N меньше любого числа из Z.
Вопрос, можно ли ввести аксиомы так, чтобы мы описали наши привычные натуральные числа, и только их (т.е. существует ли формула, подставив в которую естественное натуральное число она выдаст True, а любое другое число False)? Ответ — нет. Идея доказательства в том, что все формулы можно закодировать натуральными числами. А далее, написав хитрую формулу, и подставив ее код в Ф (формула, которая по предположению умеет определять естественную натуральность), мы получим противоречие.
Больше конкретики. Аксиоматика множеств Цермело-Френкеля (ZF)
1. Аксиома объемности. Если два множества состоят из одинаковых элементов, то они равны.
2. Аксиома подмножеств. Если у нас есть некоторая формула, то из любого множества она «вырезает» также множество.
3. Аксиома замены. Если для каждого мн-ва х, F(x) = также является множеством, то для любого а, — также множество.
4. Аксиома степени. Множество подмножеств также является множеством.
5. Аксиома бесконечности. Существует множество, которое содержит пустое множество, а также вместе с каждым элементом x содержит множество <
6. Аксиома регулярности. Не существует бесконечных по включению цепочек множеств, т.е. нельзя, чтобы множество a1 сожержало a2, то в свою очередь a3, и т.д.
Противоречия и парадоксы
Во-первых, не доказано, что аксиомы ZF непротиворечивы, если же они противоречивы, то можно вывести любое утверждение, например 0 = 1, и грош цена нашей науке. Даже более, доказано, что нельзя доказать непротиворечивость ZF. Забавная штука получается, но в этом нет ничего страшного. Если мы чего-то не можем доказать, не значит, что этого нет, в данном случае непротиворечивости. Движемся дальше.
Математика получается достаточно скупой наукой, то есть мало всего можно доказать, если не добавить аксиому выбора. А что это за аксиома такая? В трех словах — из любого непустого множества можно выбрать элемент. Казалось бы, очень естественная аксиома, но она приводит к парадоксу Банаха-Тарского, заключающегося в том, что шар можно разбить на 5 кусков и собрать из них 2 таких же шара. Т.е. яблоко можно разрезать на 5 частей и собрать два яблока?! Посему и парадокс. Что еще интереснее, доказано, что если теория ZF непротиворечива, то добавив к ней аксиому выбора (ZF + Axiom of Choice = ZFC) мы получим непротиворечивую аксиоматику!
Искорка надежды
То мы что-то не можем доказать, то какие-то парадоксы. Может, математика — полная чушь? Может не следует ее изучать? Ответ: никакая не чушь, изучать следует. Почему же, спросит читатель. Я приведу достаточно физическое доказательство. Обычно в физике бывает так. «Ого, в течении 100 лет мы наблюдали за падением бутербродов и оказалось, что они падают маслом вниз, назовем это законом». Думаете, шучу? А попытайтесь доказать, что тела состоят из молекул. Ничего более строгого, чем то, что в течение 2000 лет эта теория не давала сбой, вы не придумаете. Так вот с математикой примерно та же ситуация. Мы используем ее, вроде бы машины едут, самолеты летят, здания стоят и все хорошо. Интуитивно ясно, что если бы в математике было противоречие, то, чем глубже бы мы копались в дебрях этой науки, тем легче бы были доказательства теорем, но такого не происходит.
И все же, откуда парадокс Банаха-Тарского возникает, все же достаточно логично! На самом деле, если аккуратно заметить, то во Вселенной нет ничего бесконечного. Нет ничего бесконечно малого и т.д. Просто удобно работать с бесконечными множествами. Так что вполне нормально, что могут получаться результаты не применимые к жизни.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Что такое аксиома и теорема
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Что такое следствие в геометрии
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.