что такое абсолютная величина разности

Абсолютная величина. Модуль.

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

Абсолютные величины, виды:

Свойства модуля.

.

Так как частное = , то . В силу предыдущего свойства имеем . Воспользуемся равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

Основные свойства абсолютной величины.

Вещественные числа.

Комплексные числа.

Алгебраические свойства абсолютной величины.

Для каждого имеют место следующие соотношения:

Как для вещественных, так и для комплексных a, b имеют место соотношения:

Источник

Что такое абсолютная величина разности

Дан массив, содержащий 2014 вещественных чисел. Напишите на одном из языков программирования программу, находящую в этом массиве два соседних элемента, значения которых наименее близки, то есть абсолютная величина их разности максимальна. Если таких пар несколько, можно взять любую из них. Программа должна вывести найденные элементы. Исходные данные объявлены так, как показано ниже. Запрещается использовать переменные, не описанные ниже, но разрешается не использовать часть из описанных.

DIM I, J, K AS INTEGER

a: array [1..N] of real;

using namespace std;

нц для i от 1 до N

# целочисленные переменные j, k

# и вещественные d, r

В качестве ответа Вам необходимо привести фрагмент программы, который должен находиться на месте многоточия. Вы можете записать решение также на другом языке программирования (укажите название и используемую версию языка программирования, например Free Pascal 2.4). В этом случае вы должны использовать те же самые исходные данные и переменные, какие были предложены в условии.

Программа рассматривает все пары соседних чисел в массиве, определяет абсолютное значение разности элементов в каждой паре и находит максимум среди этих разностей. Для запоминания и последующего вывода можно хранить индекс первого элемента текущей наиболее подходящей пары, а в конце программы выводить элемент с данным индексом и следующий за ним.

Пример фрагмента программы на Паскале

for i:=2 to N-1 do begin

В качестве начального значения для максимальной разности можно использовать ноль, но даже в этом случае нужно использовать стартовое значение индекса. Оно будет использовано, если все элементы в массиве окажутся одинаковыми. Можно запоминать не один, а оба индекса найденной пары.

Пример программы на Си

Можно хранить не индексы, а значения элементов. Но поскольку разрешено использование только двух вещественных переменных, в этом случае не удастся запоминать разности, их придётся каждый раз вычислять заново.

Пример программы на Алгоритмическом языке

нц для i от 2 до N-1

если abs(a[i+1]-a abs(r-d) то

Допускаются и другие способы решения, если они соответствуют указанным в условии ограничениям и приводят к правильному ответу.

Источник

Абсолютная величина

СОДЕРЖАНИЕ

Терминология и обозначения [ править ]

Определение и свойства [ править ]

Реальные числа [ править ]

Поскольку символ квадратного корня представляет собой уникальный положительный квадратный корень (в применении к положительному числу), отсюда следует, что

эквивалентно определению, приведенному выше, и может использоваться как альтернативное определение абсолютного значения действительных чисел. [9]

Ниже приведены некоторые дополнительные полезные свойства. Это либо непосредственные следствия определения, либо подразумеваются четырьмя фундаментальными свойствами, указанными выше.

Два других полезных свойства, касающихся неравенств:

Эти отношения могут использоваться для решения неравенств, касающихся абсолютных значений. Например:

Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используется для определения абсолютной разницы между произвольными действительными числами, стандартной метрики действительных чисел.

Комплексные числа [ править ]

где х и у являются действительными числами, то абсолютное значение или модуль из г обозначается | z | и определяется [10]

Когда комплексное число z выражается в полярной форме как

Комплексное абсолютное значение разделяет четыре основных свойства, приведенных выше для реального абсолютного значения.

Важно отметить, что свойство субаддитивности (« неравенство треугольника ») распространяется на любой конечный набор из n комплексных чисел как ( z k ) k = 1 n <\textstyle (z_)_^>

Доказательство комплексного неравенства треугольника [ править ]

| ∑ k z k | = ( i ) c ( ∑ k z k ) = ∑ k c z k = ( i i i ) ∑ k R e ( c z k ) ≤ ( i i ) ∑ k | c z k | = ∑ k | c | | z k | = ∑ k | z k | <\displaystyle <\Big |>\sum _z_<\Big |>\;<\overset <(i)><=>>\;c<\Big (>\sum _z_<\Big )>=\sum _cz_\;<\overset <(iii)><=>>\;\sum _\mathrm (cz_)\;<\overset <(ii)><\leq >>\;\sum _|cz_|=\sum _|c||z_|=\sum _|z_|> .

Источник

Элективный курс по математике «Абсолютная величина»

Разделы: Математика

Основное содержание курса

Абсолютная величина числа. Основные свойства (1ч).

Определение абсолютной величины числа или модуля. Аналитическая запись определения. Геометрический смысл. Основные свойства. Историческая справка.

Основная цель – систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме “Абсолютная величина”, полученные ими в 6 и 8 классах; рассмотреть геометрический смысл абсолютной величины и основные свойства; дать историческую справку о введении термина “модуль” и “знак модуля”; рассмотреть примеры, решение которых основано на определении модуля.

Решение уравнений с модулями (3ч).

Решение линейных, квадратных уравнений с модулями, а также уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Основная цель – геометрическая интерпретация выражения и использование ее для решения уравнений вида ; рассмотреть решение линейных уравнений, основанных на определении модуля; решение квадратных уравнений, содержащих знак абсолютной величины, а также графическое решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Решение неравенств с модулями (3ч).

Решение линейных, квадратных неравенств с модулями, а также неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Основная цель – выработать умения решать линейные неравенства с модулем различными способами (используя геометрический смысл, возведение неравенства в квадрат, с помощью двойного неравенства); квадратные неравенства, содержащие знак абсолютной величины, используя схематический набросок графика квадратной функции, а также метод интервалов; дать представление о решении неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Метод интервалов (2ч).

Решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину, методом интервалов.

Основная цель – научить школьников решать уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину, методом интервалов; сформулировать теорему, на которой основано отыскание интервалов знакопостоянства; нахождение нулей модуля.

Неравенства вида , , решаемые посредством равносильных переходов (2ч).

Решение неравенства вида посредством равносильных переходов к совокупности неравенств , а неравенства — к системе неравенств .

Основная цель – закрепить понятие равносильности, известное учащимся из 8 класса; сформулировать (а в “сильном” классе доказать) свойство равносильного перехода от неравенства к совокупности и от неравенства к системе .

Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств (1ч).

Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины.

Основная цель – повторить при необходимости основные свойства модуля; научить обучающихся решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины; показать графические приемы при записи ответа; расширить класс уравнений с модулем (рассмотреть уравнение с двумя переменными).

Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой (1ч).

Решение линейных уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

Основная цель – повторить формулу расстояния между двумя точками А(х₁) и В(х₂) координатной прямой; научить обучающихся решению уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

Модуль и преобразование корней (1ч).

Применение понятия модуля при оперировании арифметическими корнями. Преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.

Основная цель – выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратный корень, при которых используется модуль.

Модуль и иррациональные уравнения (2ч).

Решение иррациональных уравнений с использованием метода выделения полного квадрата или введения новой переменной.

Основная цель – повторить известное обучающимся из 8 класса определение иррациональных уравнений; показать на примерах решение иррациональных уравнений, связанных с необходимостью использования модуля.

Учебно-тематический план

№ п/п	Тема	Количество часов	Форма проведения занятий	Форма контроля	Наименование образовательного продукта
1	Абсолютная величина числа. Основные свойства.	1	лекция	—	—
2 4	Решение уравнений с модулями: изучение нового материала	решение контрольных заданий решение контрольных заданий проверка рабочих тетрадей	—
5 7	Решение неравенств с модулями: изучение нового материала	проверка домашнего задания проверка рабочих тетрадей	—
8 9	Метод интервалов.	1 1	комбинированный урок урок-соревнование	ответы на вопросы урок взаимопроверки	—
10 11	Решение неравенств вида , , решаемые посредством равносильных переходов.	1 1	изучение нового материала закрепление изученного материала	проверка конспектов математический диктант	—
12	Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.	1	обобщение и систематизация знаний	устный опрос	—
13	Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.	1	обобщение и систематизация знаний	самостоятельная работа	—
14	Модуль и преобразование корней.	1	практикум	работа в группах	—
15 16	Модуль и иррациональные уравнения.	1 1	проверка и коррекция ЗУН консультация	домашняя контрольная работа ответы на вопросы	—
17	Зачет.	1	контрольная или тестовая работа	—	составление опорного конспекта

Методические материалы

Занятие №1: Определение абсолютной величины числа (модуля числа), его геометрический смысл и основные свойства.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Модуль числа а обозначается так:. Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую запись определения:

=

Модулем числа называется также расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. В этом состоит геометрический смысл модуля. Т.о. используются термины “модуль”, “абсолютная величина” или “абсолютное значение” числа. В соответствии с приведенным определением = 5, = 3, =0. Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел а и – а.

Историческая справка: термин “модуль” (от лат.modulus – мера) ввел английский математик Р. Котес (1682—1716), а знак модуля немецкий математик К.Вейерштрасс (1815-1897), в 1841 г.

Рассмотрим примеры, решение которых основано на определении модуля.

№ 1. Решить уравнение =4.

По определению модуля; х=4 или х =-4.

№ 2. Решить уравнение: =3.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

№ 3. Решить уравнение: =-2.

По свойству 1: модуль любого действительного числа есть число неотрицательное, делаем вывод, что решения нет.

№ 4. Решить уравнение: =х–5.

По этому же свойству 1: х–50, х5.

№ 5. Решить уравнение: +х=0.

=- х, х0.

№ 6. Решить уравнение: =х+2.

В отличие от предыдущего примера в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, что х +20,т.е. х-2. Тогда имеем:

Т.о. при х -2, имеем:

Упражнения для самостоятельной работы:

Занятие №2. Решение линейных уравнений с модулями.

При решении линейных уравнений используется или геометрический смысл модуля числа или раскрытие знака модуля. Рассмотрим на примере: решить уравнение

+ = 7.

В интервале 1 (х 5) получаем: (х-5)+(х+2)=7 или 2х-3=7, откуда х=5. Точка х=5 в рассматриваемый промежуток не входит и не является решением уравнения.

Итак, решение данного уравнения: -2х5.

Упражнения для самостоятельной работы:

№1. х=+,

№2. ++=2,

№3. +—=2х+4,

№4. ++=11,

№5. -2=0.

Занятие №3. Решение квадратных уравнений с модулем.

Рассмотрим решение квадратных уравнений с модулями на примерах:

№1. Решить уравнение

Введем замену =у, тогда при у 0 уравнение принимает вид:

№2. Решить уравнение:

+ = 0.

Уравнение равносильно системе: Откуда х=1.

№3. Решить уравнение:

= 2х – 1.

Уравнение имеет решение при условии, что 2х–10, а равенство возможно при условии: значения выражений х 2 +х–1 и 2х–1 одинаковы либо противоположны. Т.о. имеем: х0,5. Составим уравнения: х 2 +х–1=2х–1 или х 2 +х–1=-(2х–1); решая которые, получим

Ответ: .

№4. Найти корни уравнения: _.

Представим данное уравнение в виде: = х 2 – 1, откуда:

х 2 – 1,

х 2 – 1 при х — 1 и х 1.Решая уравнения, получим из первого: х=0 и х=1, из второго: х=-2 и х=1.

№5. Найти целые корни уравнения: = .

Используя определение модуля, прходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений х–х 2 –1 и 2х+3–х 2 равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

№6. Решить уравнение: =2х 2 –3х+1.

Обозначим выражение 3х-1-2х 2 буквой а. Тогда данное уравнение примет вид: =-а. Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству: 3х–1-2х 2 0, решая которое, получим ответ: х0,5 и х1.

Упражнения для самостоятельной работы.

№1.=х 2 + х–20.

№3. =(х–1)(х+1),

№4. х 2 –6+5=0,

№5. х 2 +8=9,

№6.=х 2 –6х+6,

№7. х =-8.

Занятие №4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Рассмотрим пример: решить уравнение с параметром

3–х=.

Построим графики функций у=3–х и у=. График у=3–х фиксирован и от параметра не зависит. График у=получается из графика фукции у=, зависит от параметра а. Поэтому рассмотрим 3 случая:

Этот случай имеет место при а=3. Тогда графики функций совпадают по отрезку АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е. х 3. Видно, что графики функций не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Поэтому уравнение решения не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы:

№1.=а,

№2. а=3,

№3. (а–2)=а–2,

№4. а 2 х 2 +а=0.

Занятие №5. Решение линейных неравенств с модулями.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решают различными способами; рассмотрим достаточно простой пример:

>4.

Первый способ: Имеем: >4,

>4,

>2.

Применив метод интервалов, получим: х 4,5.

Третий способ: Выражение 2х–5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух систем:

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №2.Решить неравенство: 2,

Занятие № 6. Решение квадратных неравенств с модулями.

Решим первую систему: из первого неравенства имеем: х1; х2.

из второго: 2х 2 –5х+20, или 0,5х2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы на координатной прямой, находим пересечение решений.

Т.о. 0,5х1 и х=2. Это решение первой системы.

№8. >.

Занятие № 7. Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

№2. (х–а) 2 >2+5 не имеет решений?

Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения

—+3-2=х+2.

Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:

х+1=0, х=-1; х=0; х–1=0, х=1; х–2=0, х=2.

Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений

х+1, х, х–1, х–2 на этих интервалах:

Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:

Последняя совокупность приводится к виду:

Использованный прием называется методом интервалов. Он применяется и при решении неравенств.

3) Раскроем модуль:

Решение первой системы: , решение второй . Решение данного неравенства: .

Упражнения для самостоятельной работы:

№1

№2

№3

Рассмотрим неравенства вида и . Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств а неравенство равносильно совокупности неравенств

Рассмотрим пример: решить неравенство:>х+2.

Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:

Система и неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является х.

Упражнения для самостоятельной работы:

№1. х+3,

Пример №2. Решите систему уравнений:

Заметим, что Следовательно, по свойству 5 ху0, т.е. х и у принимают значения одного знака. Тогда данная система равносильна совокупности систем:

или

Решением первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Например, (0,5; 0,5), (1/6; 5/6).Решением второй системы является пара неположительных чисел, сумма которых равна – 1. Например, (0,8;-0,2).

Пример №3.Запишите при помощи знака модуля, что по крайней мере одно из чисел а, в, с, d отлично от нуля.

Ответ:

Пример №4. Дано: 0, в0 получим:

№2. Вычислите значение выражения:

А= при х=0,5, где а>0, в>0.

1) Преобразуем выражение для х:

х=0,5=.

2) Вычислим значение корня:

.

3) Вычислим значение знаменателя:

.

4) Вычислим значение выражения А:

А=

Упражнения для самостоятельной работы:

№1.

№2. ;

№3. ;

№4.

Занятие № 15-16. Модуль и иррациональные уравнения.

Ситуация, связанная с необходимостью использования модуля, может возникнуть и при решении иррациональных уравнений.

Решите уравнение: +=1.

Обозначим через у, где у 0.

Тогда х+1=у 2 ; х+5=у 2 +4; х+10=у 2 +9.

Данное уравнение примет вид:

или , решая которое методом интервалов получим совокупность:

или

Т.о., 2у3, т.е. 23, откуда х принадлежат отрезку [3;8].

Упражнения для самостоятельной работы:

При решении уравнений, приведенных ниже для самостоятельной работы, также используйте модуль.

№2. =10,

№3.

В качестве домашнего задания обучающимся можно предложить домашнюю контрольную работу. Приведем примерный вариант такой работы:

№1. Решите уравнение:

а) =2(3-х);

б)

№2. Решите неравенство:

а)

б)

№3. Упростить выражение:

а)

б)

№4. Решите уравнение:

а)

б)

№5. Решите систему уравнений:

Занятие №17. Зачет.

Для определения рейтинга данного элективного курса возможно проведение анкетирования (см. приложение).

Источник