в каком классе учат теорему пифагора

Теорема Пифагора. 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Ход урока

1. Вступительное слово учителя:

“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень.

2. Устные упражнения:

3. Какой треугольник на рис.2? Чем он интересен?

4. Какой треугольник на рис.3? Почему?

3. Практическая работа.

В прямоугольном треугольнике измерить гипотенузу, возвести ее в квадрат, измерить катеты, возвести каждый в квадрат, найти их сумму. Сделайте вывод.

Если взять нам треугольник, да притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы мы всегда легко найдем.
Катеты в квадрат возводим, сумму степеней находим –
И таким простым путем к результату мы придем.

Это стихотворение дает нам математическую запись теоремы Пифагора.

4. Исторический экскурс.

С берегов Средиземноморья дошло до нас имя Пифагора-математика, философа, мистика. Не сохранилось ни одной строки из его сочинений, его биография стала легендой, а самого Пифагора назвали “на одну десятую гением, на девять десятых выдумкой”. С виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него и голосе, и в обхождении, и во всем”.

Родился он на острове Самос в Эгейском море. Пифагор в 18 лет отправился в путешествие по странам Востока. Вавилонская наука, и в частности, математика, была передовой наукой того времени. Пифагор во многом воспринял восточную мудрость. Вернувшись на родину в 56 лет, Пифагор собрал вокруг себя единомышленников. “Жизнь Пифагора” Порфирий (233-304г до н.э.)

Система жизненных принципов и правил, проповедуемых Пифагором, и сейчас достойна подражания. Так, Пифагор учил: “Беги от всякой хитрости, любым орудием отсекай от тела болезнь, от души невежество, от утробы – роскошество, от семьи – ссору, от всего, что есть – неумеренность”. Начинать день нужно было с вопроса:

“Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,
Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил”.
А заканчивать день пифагорейцу надлежало вопросом:
“Не допускай ленивого сна на усталые очи,
Прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь:
Что я сделал? Чего не сделал? И что мне осталось сделать?”,

Вот и сегодня на уроке мы тоже ответим на эти три вопроса.

5. Доказательства теоремы Пифагора.

И так, приступаем к доказательству теоремы Пифагора.

В те времена формулировка теоремы Пифагора звучала так:

“Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме площадей квадратов, построенных на катетах”.

В наше время теорема Пифагора звучит так:

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Докажем это.(рис.4)

6. Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство терем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойство равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: .

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его “ослиный мост” или “бегство убогих”, т.к. некоторые убогие ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть, без понимания, и прозванные потому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Учащиеся придумывали к ней разные карикатуры, стихи и т.д.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно около пяти сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Причина популярности теоремы Пифагора триедина: простота – красота – значимость. Множество теорем в геометрии доказывается с помощью теоремы Пифагора или следствия из нее. Думаю, что самостоятельное “открытие” доказательств теоремы Пифагора будет полезно и современным школьникам. К следующему уроку попытайтесь найти другие доказательства теоремы Пифагора.

Рассмотрим одно из доказательств, которое может подсказать направления таких поисков. Это доказательство, основанное на использовании понятия равновеликости фигур. Квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника, “складывается” из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах.

На рис. изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b, то останутся равные площади, т.е. . Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: смотри! (рис.5)

7. Закрепление:

а) Устные упражнения: (рис.6)

Применим алгоритм решения задач по теореме Пифагора к старинной задаче.

б) Старинная задача.

(Из первого учебника математики на Руси – “Арифметики” Магницкого.) Леонтий Филиппович Магницкий (настоящая фамилия – Телятин, Магницким стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивающим к себе всех любознательных, подобно магниту.) “Арифметику” Магницкого и “Грамматику” Смотрицкого М.В.Ломоносов назвал “вратами учености”.

“Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отсояти имать”.(рис.7)

в) Решение задач по готовому чертежу: (рис.8)

Источник

Класс: 8

Презентация к уроку

Цели урока:

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Прогнозируемый результат:

1-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

2-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь доказывать теорему Пифагора, уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

3-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь доказывать теорему Пифагора, уметь применять теорему Пифагора для решения нестандартных задач.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Основные этапы урока:

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашней работы.

III. Вступительное слово учителя.

Ребята, я рада видеть вас на нашем уроке и предлагаю вам перенестись в Древнюю Грецию и стать учениками пифагорейской школы, которая расположена на острове Самос в Эгейском море. Мы узнаем, чем интересен этот остров, и какие «математические события» там происходили. Путешествовать будем на сверхскоростном самолете, ведь время у нас ограничено – 45 минут. Итак, мы в самолете.

А вот уже мы «ступили» на остров (слайд 2)

Нас встречает житель этого острова. (слайд 3)

– Какой геометрической фигурой он представлен?

– Какой треугольник называется прямоугольным?

– Как называются его стороны?

– Укажите название каждой стороны треугольника.

– Перечислите некоторые свойства прямоугольных треугольников.

– Как найти площадь прямоугольного треугольника?

IV. Устная работа.

Чтобы попасть в самое «сердце» острова решите несколько задач.

а) По данным рисунка 1 найдите угол β.
б) По данным рисунка 2 определите вид четырехугольника KMNP.

V. Создание проблемной ситуации.

Решите задачу: «Найдите длину лестницы, приставленной к дому, если один ее конец находится на расстоянии 2 м от стены, а другой на стыке стены. Высота дома 4 м». (слайд 5)

Итак, из рисунка видно, что нужно найти гипотенузу АВ, зная катеты АС и ВС. Но мы пока не умеем решать такие задачи, поэтому цель урока – установить связь между сторонами прямоугольного треугольника, научиться находить гипотенузу, зная катеты и, наоборот, зная гипотенузу и один из катетов, находить другой катет. Зависимость между гипотенузой и катетами установил древнегреческий ученый Пифагор, доказав теорему, которая называется теоремой Пифагора.

Тема урока «Теорема Пифагора» (слайд 6)

VI. Прежде чем, доказывать теорему Пифагора, проведем практическую работу по вариантам.

(слайд 7 этапы практической работы)

(один ученик выполняет у доски)

Что вы можете сказать о полученных площадях?

Вывод: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

То, к чему мы пришли опытным путем, доказал Пифагор. (Слайд 8)

VII. Мы с вами на о. Самос, нас встречают экскурсоводы.

б) 2-й экскурсовод. В 530 г. до н.э. Пифагор основал так называемую пифагорейскую школу. Около сорока лет учёный посвятил себя, созданной им школе. Учеников школы называли пифагорейцами. Они занимались не только математикой, но и философией, естественными науками.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

VIII. Интересна и история теоремы Пифагора.

Об этом вы узнаете из учебника геометрии 7-9 автор Л. С. Атанасян и др. стр. 130. Известно более 100 способов доказательства теоремы, докажем один из них.

Доказательство теоремы (один ученик у доски). (слайд 9)

IX. Решение задач.

1) Решите задачу о нахождении длины лестницы. (вернуться к слайду 5)

2) Решение задач по готовым чертежам. (слайд 10)

3) Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика XII Бхаскары: (слайд 11)

(один из учащихся решает у доски, если возникнут трудности, воспользоваться подсказками (слайды 15-16))

X. Мы возвращаемся домой. Подведем итог путешествия.

Аргументировано оценивается деятельность учащихся на уроке, замечания и предложения по уроку.

Домашнее задание п. 37 №№ 1492 (б), 1489 (в), 1488. (слайд 12)

XI. А сейчас веселая минутка

(С вопросом для внимательных и наблюдательных – где ошибка?)

(слайд 13 видео-ролик из детского юмористического киножурнала «Ералаш»)

Источник

Тема урока: «Теорема Пифагора и ее применение»

Разделы: Математика

Приветствие и вступительное слово учителя:

Здравствуйте, дети! Сегодня я предлагаю вам отправится в Х-педицию. Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. (см. презентацию – представлена в приложении).

Прежде, чем познакомиться с новой темой, выполним некоторые задания.

1. Найдите пропущенное число (рис.1).

2. Назовите два следующих числа.

Назовите фигуры, которые вы видите на экране (рис.2).

— Какие бывают треугольники?

— Какой треугольник называется прямоугольным?

— А какая фигура называется квадратом?

— Как мы находим его площадь?

— Ребята, наша исследовательская деятельность продолжается.

Назовите элементы прямоугольного треугольника (рис.3).

(На боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон)

— Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.

Дети выходят к доске и заполняют таблицу

— Итак, определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

— Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. И сегодня на уроке мы найдем и изучим эту связь. Тема нашего урока – “Теорема Пифагора”. Теорема эта отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

На доске появляется тема урока и формулировка теоремы.

— На экране компьютера портрет Пифагора и формулировка теоремы.

— Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.

(Правая боковая сторона доски с треугольником)

Дано: АВС-прямоугольный

доказать: с 2 = a 2 + b 2

Построим на катете прямоугольного треугольника (длиной 4 квадрата) квадрат со стороной, равной этому катету, на втором катете (длиной три квадрата) построим квадрат со стороной, равной этому катету, и, аналогично, на гипотенузе построим квадрат со стороной, равной гипотенузе.

Чему равна площадь квадрата со стороной а? S₁ = а 2

Чему равна площадь квадрата со стороной в? S₂ = в 2

Чему равна площадь квадрата со стороной с? S₃ = с 2

Дети работают вместе с учителем.

Учитель: У вас у каждого на парте лежат треугольник и квадраты. Достали ножницы из чехлов…

— Что и требовалось доказать

Соблюдение техники безопасности – ножницы в чехлы.

“Пифагоровы штаны во все стороны равны”
и “Пифагорова невеста”

Закрепление нового материала
(на экране задача и рисунок к ней на доске) (рис.5)

У египтян была известна задача о лотосе. «На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну”.

Работа в группах

Трем группам из четырех человек даются карточки в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами (рис.6).

Каждый ученик решает свою задачу и ставит свой треугольник на свое место. В результате в группах получаются – карта Древней Греции, карта Древнего Египта и карта древней Италии. Капитаны выходят к доске со своими картами

На экране компьютера появляется карта Древнего мира (рис.7). Если соединить города, где родился, набирался опыта и жил Пифагор, отрезками, то получиться прямоугольный треугольник (см. презентацию – приложение).

Учитель: А теперь, дети, каждый из вас попробует совершить открытие самостоятельно. Перед вами задачи на теорему Пифагора. Правильно решив их, вы получите названия стиля в архитектуре, где применяется теорема Пифагора. На экране появляются задачи на теорему Пифагора. (рис. 8).

Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово “готика”

Показать Собор Парижской богоматери (рис. 9).

Учитель: А теперь каждый попробует совершить свое открытие в нашей исследовательской деятельности. Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В древних текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. В какой стране и при строительстве какого сооружения применялась теорема Пифагора?

Сейчас мы с вами узнаем.

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским” (рис.10).

У вас у каждого на парте лежит задание на обратной стороне фигур, с которыми мы работали. Вы, каждый самостоятельно, решаете свои задачи и находите ответ на математическом лото на доске. Сейчас мы получим великое сооружение, в строительстве которого еще задолго до жизни Пифагора использовались знания о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дети решают задачи и получают пирамиду Хеопса.

На экране – пирамида Хеопса (рис.11).

Учитель: Какое открытие мы сегодня совершили?

Для чего мы делали это открытие?

Давайте попробуем повторить формулировку теоремы Пифагора.

А за великое открытие, которое мы совершили сегодня на уроке, каждый из вас получает вот такой папирус о том, что он являлся участником окружного конкурса “Учителя года”, успешно усвоил теорему Пифагора и еще раз убедился в связи математики с другими науками (рис.12).

— Итак, наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея: “Великая книга истории написана математическими символами” (см. последний слайд презентации – приложение).

Информационные технологии на уроках геометрии

а) Развитие психических процессов: памяти, внимания, мышления, воображения.

б) Повышение мотивации обучения учащихся.

в) Расширение кругозора учащихся и обогащение словарного запаса. Развитие познавательного интереса.

Обучение детей трудолюбию и аккуратности.

“…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением…” Иоганн Кеплер

ХОД УРОКА.

Приветствие и вступительное слово учителя:

Здравствуйте, дети! Сегодня я предлагаю вам отправится в Х- педицию. Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. (см. презентацию – представлена в приложении)

Назовите элементы прямоугольного треугольника/(ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

/на боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон/

— Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.

Дети выходят к доске и заполняют таблицу

— Итак, Определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

КВАДРАТ ГИПОТЕНУЗЫ РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ КАТЕТОВ

— Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. И сегодня на уроке мы найдем и изучим эту связь. Тема нашего урока – “Теорема Пифагора”. Теорема эта отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

На доске появляется тема урока и формулировка теоремы.

— На экране компьютера портрет Пифагора и формулировка теоремы.

–Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.

/правая боковая сторона доски с треугольником/

доказать: с 2 = a 2 + b 2

Построим на катете прямоугольного треугольника (длиной 4 квадрата) квадрат со стороной, равной этому катету, на втором катете (длиной три квадрата) построим квадрат со стороной, равной этому катету, и, аналогично, на гипотенузе построим квадрат со стороной, равной гипотенузе.

Чему равна площадь квадрата со стороной а? S₁ = а 2

Чему равна площадь квадрата со стороной в? S₂ = в 2

Чему равна площадь квадрата со стороной с? S₃ = с 2

Дети работают вместе с учителем.

Учитель: У вас у каждого на парте лежат треугольник и квадраты. Достали ножницы из чехлов…

–Что и требовалось доказать

Соблюдение техники безопасности – ножницы в чехлы.

“Пифагоровы штаны во все стороны равны” и “Пифагорова невеста”

Закрепление нового материала.

( на экране задача и рисунок к ней на доске) (рис.5)

У египтян была известна задача о лотосе. «На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну”.

Работа в группах

Трем группам из четырех человек даются карточки в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами. (рис.6)

Каждый ученик решает свою задачу и ставит свой треугольник на свое место. В результате в группах получаются – карта Древней Греции, карта Древнего Египта и карта древней Италии. Капитаны выходят к доске со своими картами

На экране компьютера появляется карта Древнего мира. (рис.7). Если соединить города, где родился, набирался опыта и жил Пифагор, отрезками, то получиться прямоугольный треугольник. (см. презентацию )

Самостоятельная работа

Учитель: А теперь, дети, каждый из вас попробует совершить открытие самостоятельно. Перед вами задачи на теорему Пифагора. Правильно решив их, вы получите названия стиля в архитектуре, где применяется теорема Пифагора. На экране появляются задачи на теорему Пифагора. (рис. 8)

Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово “готика”

Показать Собор Парижской богоматери (рис. 9)

Математическое лото

Учитель: А теперь каждый попробует совершить свое открытие в нашей исследовательской деятельности. Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В древних текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. В какой стране и при строительстве какого сооружения применялась теорема Пифагора?

Сейчас мы с вами узнаем.

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским”.(рис.10)

У вас у каждого на парте лежит задание на обратной стороне фигур, с которыми мы работали. Вы, каждый самостоятельно, решаете свои задачи и находите ответ на математическом лото на доске. Сейчас мы получим великое сооружение, в строительстве которого еще задолго до жизни Пифагора использовались знания о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дети решают задачи и получают пирамиду Хеопса.

На экране – пирамида Хеопса. (рис.11)

Учитель: Какое открытие мы сегодня совершили?

Для чего мы делали это открытие?

Давайте попробуем повторить формулировку теоремы Пифагора

А за великое открытие, которое мы совершили сегодня на уроке, каждый из вас получает вот такой папирус о том, что он являлся участником окружного конкурса “Учителя года”, успешно усвоил теорему Пифагора и еще раз убедился в связи математики с другими науками.(рис.12)

— Итак, наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея: “Великая книга истории написана математическими символами”

Источник