в каком классе проходят формулы сокращенного умножения

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Куб суммы. Куб разности

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

(a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».

Аналогично докажем формулу «куб разности».

(a – b) 3 = (a – b) 2 (a – b) =(a 2 – 2ab + b 2 )(a – b)

Применив правило умножения многочленов, получим:

a 3 – 2a 2 b + b 2 a – a 2 b + 2ab 2 – b 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

Доказано равенство, которое называют «куб разности»:

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».

Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Найдите куб двучлена:

(a + 3) 3 = a 3 + 3a 2 · 3 + 3a · 3 2 + 3 3 = a 3 + 9a 2 + 27a + 27.

(10 – a) 3 =10 3 – 3 · 10 2 a + 3 · 10 · a 2 – a 3 = 1000 – 300a + 30a 2 – a 3 .

Упростите: x 3 + 3x(x + 4) – (x + 2) 3

x 3 + 3x 2 + 12x – (x 3 + 6x 2 + 12x + 8) =

Источник

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Для четных показателей 2m:

Для нечетных показателей 2m+1:

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Применим формулу суммы квадратов и получим:

Сокращаем и получаем:

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Источник

Сокращенное умножение: правила, формулы

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Доказательство формул сокращенного умножения

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).

Для четных показателей можно записать так:

a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).

Для нечетных показателей:

a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Как решаем:

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Материалы урока «Формулы сокращенного умножения». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Урок повторения изученного.

Цель: повторение и закрепление формул сокращённого умножения и их применения при упрощении выражений и разложении многочленов на множители.

Задачи:

Оборудование: компьютеры, мультимедиа, авторская мультимедийная презентация к уроку «Формулы сокращённого умножения» (Приложение 1), карточки с заданиями (Приложение 2), раздаточный материал (Приложение 3), тесты, составленные в программе MyTest (Приложение 4), тесты в печатном виде (Приложение 5).

План урока

Вопросы и задания

Карточки с заданиями:

Прочитать, назвать первое и второе выражения и возвести в квадрат:

Разложите на множители:

Тесты, составленные в программе MyTest.

Ход урока

1. Организационный момент

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность обучающихся к уроку.

2. Сообщение темы и цели урока

Описание содержания

Скриншот страницы

Учитель сообщает, что сегодня на уроке будем повторять одну из важных тем алгебры. В курсе 7 класса изучено много важных тем, без хорошего знания которых невозможно дальнейшее изучение алгебры. Сообщается, что тему урока ребята узнают, разгадав кроссворд. Ребятам предлагается разгадать кроссворд. (Слайд 2)

Ответы к заданиям в кроссворде на слайде выходят по щелчку на автофигуру с соответствующим номером вопроса.

Из букв в выделенной строке необходимо составить слово. (Формулы)

При нажатии на восьмиугольник со значком «*» слово рмофылу превратится в слово формулы.

Выясняем в ходе беседы, какие формулы изучили. (Формулы сокращённого умножения).

Сегодня на уроке повторим одну из важных тем в курсе алгебры: «Формулы сокращённого умножения».

3. Устная работа

Описание содержания

Скриншот страницы

2ах, 2сd, 3аb, 4ху, ас, 6ак (читая: удвоенное или утроенное произведение);

3. Представить в виде

4. Повторение изученного и его применение в стандартных условиях

Описание содержания

Скриншот страницы

Устно: (Слайд 6) Формулы выходят на слайдах 6-8 по щелчку.

Как называются эти формулы? (Формулы сокращённого умножения)

Почему их назвали формулами сокращённого умножения? (Можно сразу записать результат умножения).

С какой целью применяют данные формулы? (Для упрощения выражений и разложения на множители многочленов, для разложения на множители эти формулы нужно записать наоборот)

Какие ещё формулы знаете для разложения на множители? (Сумма и разность кубов.)

Ещё несколько полезных формул:

После повторения формул ребятам выдаётся раздаточный материал:

Формулы сокращённого умножения

У доски ребята выполняют задание на карточках (по желанию, все решения поясняются, комментируются):

Прочитать, назвать первое и второе выражения и возвести в квадрат:

Разложите на множители:

5. Физминутка

Описание содержания

Скриншот страницы

Выполняются упражнения (Ребята выходят из-за парт):

6. Закрепление пройденного материала

Ребятам предлагается работа с тестом для закрепления формул. Сообщается, что за выполнение теста будет выставлена оценка компьютером. Хорошие оценки будут выставлены за урок.

При работе с тестом можно пользоваться подсказками, однако за подсказку есть штрафной балл. Можно улучшить свой результат, выполнив другой вариант (возможно на другом уроке).

Если компьютеров на всех ребят не хватает можно предложить слабым учащимся поработать с тестом на компьютере, а хорошо подготовленным с печатной версией теста, либо организовать работу в парах.

Из программы теста можно создать печатный вариант теста, оформление которого можно редактировать по своему усмотрению, можно вывести ответы (для проверки, для учителя). Для тестирования на компьютере нужно скопировать папку «тест формулы сокращённого умножения» на компьютер и запустить значок MyTestStudent компьютерное тестирование, выбрать в папке «тест ФСУ» один из вариантов теста и запустить. Ответы к заданию в тесте одного и того же варианта на разных компьютерах появляются в случайном порядке.

7. Постановка домашнего задания

Описание содержания

Скриншот страницы

На дом задаётся повторить формулы. Решить № 969(а,в,г), № 970(а,г,ж), № 975(а-г), №972(а,г,д) (Слайд 10)

8. Подведение итогов урока

С учётом работы в течение всего урока комментируются и оцениваются ответы обучающихся.

Используемая литература и ресурсы

Источник

Урок «Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы», 7 класс

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Форма урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Вид урока – комбинированный.

1) Повторить понятия, связанные с одночленами и многочленами.
2), 3) Познакомить учащихся с формулой квадрата суммы.
4) Выделить основные типы задач, где используется формула.
5), 6) Закрепить и обобщить пройденный материал.
7) Задать домашнее задание.

1 этап. Актуализация знаний.

На этот урок было задано Д. /З.: повторить такие понятия, как одночлен, стандартный вид

одночлена, коэффициент одночлена, многочлен, стандартный вид многочлена, подобные слагаемые, приведение подобных слагаемых.

На доске написаны одночлены и многочлены:

1) x 2 + x;
2) –2aba;
3) 10x – 8xz – 3xz;
4) –bca;
5) 25ab + ab 2 + a 2 b;
6) 0, 125;
7) zzx 6;
8) 25a 8 x4b; 9) (–f 2 ) 2;
10) x 6 – 10;
11) a 2 c – 9aca + 6;
12) a

Определение одночлена: Одночлен – выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней, а также числа, переменные и их степени.

Назвать пункты, в которых записаны одночлены. Ответ: 2), 4), 6), 7), 8), 9), 12)

Определение стандартного вида одночлена: Стандартный вид одночлена – произведение числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных.

Назвать пункты, в которых одночлены записаны в стандартном виде. Ответ: 4), 6), 12)

Определение коэффициента одночлена: Коэффициент одночлена – числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Назвать коэффициент одночлена. Ответ: 2) –2; 4) –1; 6) 0, 125; 7) 6; 8) 100; 9) 1; 12) Определение многочлена: Многочлен – алгебраическая сумма одночленов.

Назвать пункты, в которых записаны многочлены. Ответ: 1), 3), 5), 10), 11)

Определение стандартного вида многочлена: Стандартный вид многочлена – многочлен, в котором все одночлены записаны в стандартном виде и нет подобных слагаемых.

Назвать пункты, в которых многочлены записаны в стандартном виде. Ответ: 1), 5), 10)

Определение подобных слагаемых: Подобные слагаемые (члены) – слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

Назвать подобные слагаемые в тех многочленах, в которых они есть. Ответ: 3) –8xz и –3 xz; 11) a 2 c и – 9aca;

Определение приведения подобных слагаемых: Приведение подобных слагаемых – преобразование, основанное на распределительном свойстве умножения

2 этап: Мотивация знаний.

Задание на 5- 7 мин. в тетради для теории.

№ 1. Уп ростить выражение: (x 2 – ax + b)(b + x 2 – ax) + (ax – b)(ax – b) +(–ax + x 2 + b)(ax – b)x 2

(x 2 – ax + b)(b + x 2 – ax) + (ax – b)(ax – b) +(– ax + x 2 + b)(ax – b)x 2 =

= x 2 b – axb + b 2 + x 4 – ax 3 + bx 2 – x 3 a + a 2 x 2 – bax + a 2 x 2 – bax + b 2 – bax + 2(–a 2 x 2) + 2x 3 a + 2bax + + 2bax – 2bx 2 – b 2 = x 4

Спросить учащихся, какие ответы у них получились. Сделать вывод: что они работали 5 мин., а многие сделали не верно (не успели сделать). Вычисление занимает очень много времени.

А для упрощения работы существуют специальные формулы: формулы сокращенного умножения (отметить слово “сокращенного”).

3 этап: Изложение нового материала.

В тетради для теории записать заголовок темы:

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.

Квадрат суммы двух выражений.

Доказательство : (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Вспомнить определение степени числа (произведение числа а само на себя n-ое количество раз).

Записать как читается данная формула.

(спросить нескольких учеников и повторить всем классом хором)

4 этап. Практическое применение формулы.

Использование этих формул:

а) (30 + 1) 2 = 30 2 + 2x30x1 + 1 2 = 900 + 60 + 1 = 961
б) 72 2 = (70 + 2) 2 = 70 2 + 2x70x2 + 2 2 = 4900 + 280 + 4 = 5184
в) 157 2 + 2x157x 43 + 43 2 = (157 + 43) 2 = 200 2 = 40000

2) Решить уравнений:

3) Представить выражение в виде многочлена:

(x 2 + 10) 2 = (x 2 ) 2 + 2xx 2 x10 + 10 2 = x 4 + 20x 2 + 100

4) Разложить многочлен на множители (определение: представить в виде произведения одночлена и многочленов или многочленов):

a 2 + 6ab + 9b = a 2 + 2x ax3b + (3b) 2 = (a + 3b) 2

5) Вернуться к выражению, которое они упрощали в начале урока:

(x 2 – ax + b)(b + x 2 – ax) + (ax – b)(ax – b) +(– ax + x 2 + b)(ax – b)x 2 =

= (x 2 – ax + b + ax – b) 2 = (x 2)2 = x 4

Обратить внимание, как быстро и легко упростили это выражение с помощью формулы квадрата суммы

Заметить, что в формуле вместо a и b могут быть числа, одночлены, многочлены и их комбинации и т. д. …

5 этап. Решение задач.

Ученикам раздаются карточки с заданием. Решение и анализ проводится вместе с учителем.

Лист с решением вклеить в рабочую тетрадь.

Задание: Вместо многоточия поставить одночлен так, чтобы получившееся равенство выполнялось.

Формулы сокращенного умножения Квадрат

6 этап: Обобщение знаний.

Повторить формулу, что может быть записано вместо переменных а и b, ее чтение, способы использования.

7 этап: Домашнее задание.

Выучить формулу квадрата суммы, ее доказательство. Из учебника (Алимов Ш. А., Алгебра 7 класс) сделать № 371 (2, 3); № 378 (2, 4); № 388 (2)

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник