в каком классе изучают теорему виета

Урок алгебры в 8-м класс по теме: «Теорема Виета»

Разделы: Математика

Оборудование: компьютер, видеопроектор.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

Диалог «учитель – ученик».

— Что записано на доске? (слайд 2).

— Какие это уравнения? Почему?
— Какое задание можно получить, глядя на эти уравнения?
— Найдите корни уравнения. (слайд 2).
— Что вы увидели?
— Какую заметили зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения?
— А если будет дано квадратное уравнение в общем виде, то как эту зависимость мы сможем записать? (слайд 3)

— А только ли для приведенных квадратных уравнений существует эта зависимость? Попробуем проверить. ( слайд 4)

— Какой вывод можно сделать? (слайд 5)

Эту зависимость впервые установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540 – 1603 г.г.), поэтому данную зависимость назвали «теорема Виета».

(Выступление ученицы с исторической справкой о Франсуа Виете).

— Для запоминания некоторых правил есть стихотворения. Имеется такое стихотворение и для лучшего запоминания теоремы Виета. (слайд 6).

— Сравните корни и свободный член уравнения. Что заметили? (слайд 9).
Если свободный член уравнения – отрицательное число, то корни различные по знаку;
Если свободный член уравнений – положительное число, то оба корня имеют одинаковые знаки.

— Данный вывод мы будем применять с вами при исследованиях корней квадратного уравнения с параметрами
— Составьте квадратное уравнение, зная его корни: (слайд 10).

— Используя теорему Виета, решите квадратные уравнения (слайд 11):

Разбейте данные уравнения на три группы. Почему так разбили? (слайд 12)

— Проверьте справедливость данного утверждения для неприведенных квадратных уравнений. (слайд 15)

— Какой вывод можно сделать?
— Найдите корни уравнений (слайд 16):

III. Рефлексия урока.

IV. Домашнее задание.

Подобрать или составить квадратные уравнения с обязательным корнем 1 или – 1.

Источник

Урок по алгебре в 8-м классе по теме: «Теорема Виета. Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений общего вида»

Разделы: Математика

Цель урока: Сформулировать приём, позволяющий свести решение уравнения общего вида к нахождению целых корней вспомогательного уравнения и решение с применением теоремы Виета.

Образовательные задачи урока: Обеспечить закрепление теоремы Виета. Научить учащихся решать квадратные уравнения общего вида, с использованием теоремы Виета. Привить навыки устного решения квадратных уравнений общего вида.

Воспитательные задачи урока: Способствовать выработке у школьников умения обобщать факты, содействовать стремлению к личностному росту учащихся; развивать самостоятельность путём использования ИКТ для выполнения упражнений, навыки групповой и парной работы, самооценку собственных достижений.

Формы работы на уроке:

Методы работы на уроке:

Содержание (цель) этапа

Организационный момент (этап самоопределение деятельности).

Поставлена цель урока. На этапе самоопределения к деятельности были созданы условия для возникновения внутренней потребности включения в деятельность. А также была обозначена содержательная область. В работу были включены принципы: деятельности, непрерывности, психологической комфортности.

Созданы условия для успешной совместной деятельности (Работа на уроке оценивается бальной системой, ведётся электронный журнал).

Проверка домашнего задания

Фронтальная и индивидуальная проверка и коррекции знаний и умений учащихся.

Проверка домашнего задания по электронному журналу

Фронтальный опрос правил (парная работа)

Устный счёт по выбранным цветам (жёлтые и оранжевые по очереди) на ЭВМ

(электронный тренажёр) и тест (Microsoft Office Excel, составленный учителем)

Предварительная подготовка к восприятию новой темы на уроке

Математика 5-11 (Практикум. Лаборатория. Тренажёр для устного счёта

Создание проблемной ситуации.

Этап актуализации знаний и постановки проблемы. Чётко были обозначены знания умения и навыки для построения нового способа действия. Учащиеся выявили и зафиксировали в речи причины затруднения. Поставили цель своей деятельности. Использовались такие принципы как, деятельности, вариативности, творчества.

Проблемно-диалогическое обучение Объяснение новой темы

Совместно с детьми «открывается» способ решение общего квадратного уравнения через вспомогательное уравнение.

Открытие детьми “нового” знания происходило через проблемный диалог. Учащиеся подходили к выбору метода решения учебной задачи, выдвигали и обосновывали свои собственные гипотезы. Ярко выражены следующие принципы: минимакса, деятельности, вариативности, психологической комфортности.

Инструкция к решению

Воспроизведение знаний учащимися, проговаривание в устной речи

Разбор проблемной задачи

Первичное закрепление знаний, фронтальная работа с классом по усвоению новой темы

Решение примеров из учебника

Разбор примера на доске учителем,

Работа учащихся на доске, выявление затруднений.

Самостоятельная работа учащихся

Закрепление знаний учащихся (индивидуальная работа учащихся).

На данном этапе уч-ся выполняли задания на новый способ действия. Была создана ситуация успеха.

Индивидуальная работа учащихся, самооценка и коррекция знаний.

Алгебра электронный учебник.

В заключение урока была организована самооценка собственной деятельности. На данном этапе были ярко выражены основные идеи урока, подведены итоги работы в группах и представлены вывода о значимости нового способа решения уравнений для дальнейшего обучения.

Результаты работы учащихся

Представление результатов по этапам урока в электронной таблице.

Выставление оценок, распечатка результатов.

Презентация. Электронный журнал

Организационный момент. Обеспечение техники безопасности, постановка цели урока. Создание условий для успешной совместной деятельности (Работа на уроке оценивается бальной системой, ведётся электронный журнал).

Проверка домашнего задания (электронный журнал к уроку). ( Слайд №3 «ссылка на проверка домашнего задания»).

Домашнее задание было трёх уровней: А, В и С.

Задачи трёх уровней: (Решения задач даны в Microsoft office на компьютерах для сверки с домашним заданием учащихся)

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

А) по теореме Виета:

Ответ: сумма корней равна 16, а произведение равно 28.

Б) по теореме Виета:

2.Пользуясь теоремой обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.

Решение: -общий вид приведённого квадратного уравнения.

Уравнение имеет вид:

Если умножить обе части уравнения на какое-нибудь число, то получим новое равносильное уравнение. Например:

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

А) По теореме Виета

Приведём к виду . Для этого разделим обе части уравнения на 2, получим:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и

Решение:

Уравнение имеет вид:

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна 4.

Разбор задания С. (Слайд №3 «ссылка на уровень С»).

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна 4.

Решение: По условию задачи уравнение должно быть разрешимо, т.е. и где — корни уравнения.

так как по теореме Виета

Устный опрос учащихся (взаимопроверка и выставление баллов в карточку учёта результатов, в ходе урока результаты заносятся в электронный журнал).

Учитель: (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Какое уравнение называется квадратным.

Квадратным уравнением называется уравнение , где — заданные числа

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Какое квадратное уравнение называется приведённым.

Квадратным уравнение вида называется приведённым. В этом уравнении старший коэффициент равен единице.

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Как привести квадратное уравнение к приведённому виду.

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду делением обеих частей уравнения на

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Сформулируйте теорему Виета

Если и — корни уравнения то справедливы формулы , , т.е сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета

Если числа таковы, что , , то и — корни уравнения

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Зачем нужна теорема Виета.

Устный счёт с использованием электронного тренажёра (в начале оранжевые карточки, затем жёлтые, в ходе устного счёта «компьютерное тестирование» проходят все учащиеся класса). Математика 5-11 (Практикум. Лаборатория. Тренажёр для устного счёта).

(фиксируется время 2 мин. Решить приведённые квадратные уравнения, предложенные случайным образом компьютером, после работы компьютер выдаёт протокол результатов, и дети заносят их в карточку учёта результатов, в ходе урока результаты заносятся в электронный журнал). Учащиеся за партами работают с таблицей на карточках и проверяют совместно с учителем на электронной таблице, которая показывает правильность найденных ответов.

При выполнения первые выполняют 1-4 примеры, последующие 5-8 примеры: (Слайд№10 «ссылка переход к тесту»)

Проблемное задание (работа в группах), задания на красных листочках.

Учитель: Решите уравнение:

Учащиеся решают разными способами, которые известны (через дискриминант, кто-то пытается через теорему Виета). Решая теоремой Виета, учащиеся получают .

Такие числа подобрать очень сложно (возникает проблема у учащихся).

Подобрать два числа, сумма которых равна (), а произведение корней равно () не так просто. Для преодоления возникающей трудности мы будем использовать приём, позволяющий свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного уравнения.

Итак, открыли тетради, запишем дату и тему сегодняшнего урока. (Слайд№12)

(Объяснение нового материала на доске с использованием проблемно-диалогического метода).

Пусть требуется решить квадратное уравнение

(Для него ).

Умножив обе части данного уравнения на , перепишем его в виде

Обозначим , получим уравнение. Это приведённое квадратное уравнение. В полученном уравнении, т.е.

т.е. . Теперь видно, что для решения исходного уравнения достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение и его корни разделить на . Показывается связь между уравнениями и

Для практического применения этого приёма мы формулируем его как инструкцию: «перебросить» коэффициент в свободный член, найти корни нового уравнения и разделить их на a.(Слайд№13)

Покажем это на конкретных примерах. (Слайд№14) Возьмём наше уравнение

Запишем вспомогательное уравнение , имеющее корни Следовательно, исходное уравнение имеет корни

Далее идёт решение №444 (1,3) с использованием теоремы Виета. Первый пример учитель решает у доски сам, далее у доски решают учащиеся 3 пример и пример из карточки. Решите уравнения:

У каждого на парте имеются карточки с заданиями.

Инструкция: «перебросить» коэффициент в свободный член, найти корни нового уравнения и разделить их на a.

Ребятам предлагается дополнительно работать с электронным учебником Алгебра 7-11. Электронный учебник справочник. Квадратные уравнения. Сильные учащиеся обычно сразу же обращаются к компьютерам.

Идёт самостоятельная работа за компьютерами и за партами. Индивидуальная работа учащихся, самооценка и коррекция знаний с использованием ИКТ.

Рефлексия: В заключение урока была организована самооценка собственной деятельности. На данном этапе были ярко выражены основные идеи урока, подведены итоги работы в группах и представлены вывода о значимости нового способа решения уравнений для дальнейшего обучения.

На уроке в качестве «яркого пятна» используется «Линия времени» электронного учебника «Математика 5-11. Практикум. Интерактивная линия жизни учёных математиков». (Слайд№15)

Подведение итогов урока:

Представление результатов по этапам урока в электронной форме: в виде таблиц и диаграмм.

Источник

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Квадратные уравнения. Теорема Виета»

Разделы: Математика

ТЕМА УРОКА: Квадратные уравнения. Теорема Виета.

ЦЕЛЬ УРОКА: Закрепление, расширение и углубление представлений учащихся о решении квадратных уравнений.

Для достижения цели урока необходимо решить следующие задачи:

а) образовательные: формирование у учащихся навыков решения квадратных уравнений по формулам, с применением теоремы Виета и обратной ей теоремы; выработка умений применять знания и навыки по данной теме при решении нестандартных заданий;

б) развивающие: развитие умения самостоятельно находить методы решения квадратных уравнений различного уровня; развитие математической речи, внимания, памяти, навыков устного решения заданий;

в) воспитательные: воспитание у учащихся трудолюбия, вычислительной культуры, творчества при решении нестандартных заданий, содержащих параметр; выработка желания обобщать полученные факты.

ТИП УРОКА: Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков учащихся.

ФОРМА ПРОВЕДЕНИЯ: Урок-практикум.

ОБОРУДОВАНИЕ: опорный плакат «Квадратные уравнения», компьютер, индивидуальные карточки.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Организация начала урока, приветствие, проверка списочного состава учащихся.

2. СООБЩЕНИЕ ТЕМЫ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧ УРОКА, МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Объявить учащимся тему, цель и задачи урока.

Акцентировать внимание учащихся на актуальности изучаемой темы, на её значимости и месте в курсе алгебры.

Запись и комментирование домашнего задания: повторить п.20-24; № 966 (в, г), №946, №795(а).

3. АКТУАЛИЗАЦИЯ, ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ И КОРРЕКЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ

1. Фронтальная беседа с учащимися по формулам корней квадратного уравнения. Ученики записывают формулы на доске, а затем проверка осуществляется с использованием опорного плаката «Квадратные уравнения».

2. Повторение теоремы Виета и обратной ей теоремы, теоремы Виета для приведённого квадратного уравнения (демонстрация презентации, Приложение 1).

3. Устное решение уравнений (записи заранее приготовлены на обратной стороне доски).

Задания предлагаются в виде теста (выбрать правильный ответ):

4. ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ

Решение заданий на усвоение системы знаний и их применение для выполнения практических заданий.

1. Решить задачу, выделяя 3 этапа математического моделирования.

Университет в течение двух лет увеличивал приём количества студентов на один и тот же процент. На сколько процентов увеличивался приём студентов ежегодно, если количество поступивших возросло с 2000 человек до 2880?

Решение задачи на доске и в тетрадях учащихся.

1 этап: Пусть х %- процентное увеличение студентов в год. Тогда через год было принято 2000+ 0,01х ∙2000 = 2000 + 20х студентов, а ещё через год было принято (2000 + 20х) + (2000 + 20х)∙ 0,01х = 2000 + 20х + 20х + 0,2х 2 студентов, что по условию задачи равно 2880. Составим и решим уравнение:

2. Три ученика одновременно работают у доски.

а) Решить уравнение тремя способами: х 2 – 14х + 33 = 0.

Первый способ: Д =(-14) 2 – 4∙1∙33 = 196 – 132 = 64, х₁= 11, х₂ = 3.

Третий способ: По теореме Виета и обратной ей теореме:

б) Разложить трёхчлен х 2 – 14х + 33 на множители.

Так как х₁ = 11, х₂ = 3, то х 2 – 14х + 33= (х – 11) (х – 3).

Ответ: а) 11, 3; б) х 2 – 14х + 33= (х – 11) (х – 3).

3. В это время три ученика работают самостоятельно в тетрадях по карточкам.

а) Решить уравнение: х 2 + 7х – 8 = 0.

б) Разложить квадратный трёхчлен х 2 + 7х – 8 на множители.

а) Решить уравнение: х 2 + 7х + 12 = 0.

б) Разложить квадратный трёхчлен х 2 + 7х + 12 на множители.

Решение заданий по карточкам учитель проверяет во время самостоятельной работы учащихся с учебником.

5. УСВОЕНИЕ ВЕДУЩИХ ИДЕЙ И ОСНОВНЫХ ТЕОРИЙ НА ОСНОВЕ ШИРОКОЙ СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ

Решение заданий повышенной сложности, требующих нестандартного подхода и творческой активности учащихся.

1. Работа с учебником.

№ 795(в). Самостоятельно решить задание, содержащее параметр двумя способами. При каких значениях параметра р уравнение х 2 + 15х + р = 0 имеет корень, равный 10? Проверить решение, используя слайд №2. (Приложение 2)

2. Тестовое задание.

Составить уравнение для решения задачи на движение.

Моторная лодка прошла 5 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти скорость лодки по течению. Используется слайд №3. (Приложение 2)

6. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

1. Объявление отметок.

2. Стихотворение (А. Гуревич).

Теорема Виета

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна:
Хоть с минусом дробь эта, что за беда,
В числителе в, в знаменателе а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Источник