в каком классе изучают тангенс и котангенс

Конспект урока по алгебре «Тангенс и котангенс угла»

Описание разработки

Цель урока:

Ввести для учащихся понятия тангенса и котангенса угла t; научить их решать простейшие тригонометрические уравнения с использованием данных понятий.

показать важность и необходимость изучения данной темы для учащихся;

дать учащимся определение понятий тангенса угла t и котангенса угла t;

познакомить учащихся с таблицей знаков tg t и ctg t по четвертям числовой окружности;

повторение ранее изученного материала;

ввести таблицу часто встречаемых значений tg t и ctg t;

разобрать с учащимися простейшие примеры решения тригонометрических уравнений;

познакомить учащихся со свойствами tg t и ctg t.

Способствовать развитию наблюдательности, логического мышления, памяти, внимания учащихся, их интереса к изучению предмета.

Воспитание у учащихся дисциплинированности на уроке, аккуратности, трудолюбия, способствовать формированию аргументировано отстаивать свою точку зрения, умение выслушать других

План урока.

1. Организационный момент (2 минута)

2. Актуализация знаний (3 минут)

3. Изучение нового материала (12 минут)

4. Закрепление изученного материала (25 минут)

5. Подведение итогов (2 минуты)

6. Домашнее задание (1 минута)

Ход урока.

1. Организационный момент включает в себя:

Приветствие учителем учащихся, проверка отсутствующих, готовности помещения к уроку.

2. Актуализация знаний.

(Проводится в виде фронтального опроса, вопросы которого показаны на Слайде 2)

Учитель: На прошлом уроке нами была изучена тема «Синус и косинус угла». Дома вы должны были выучить определение синуса и косинуса угла t, знаки синуса и косинуса угла по четвертям числовой окружности, а так же часто встречаемые значения синуса и косинуса угла. Для этого ответьте на следующие вопросы:

И так, что же такое косинус угла t и синус угла t?

Ученик: Если точка М числовой окружности соответствует углу t, то абсциссу точки М называют косинусом угла t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом угла t и обозначают sin t.

Ученик: Cинус и косинус угла π/4 положительные.

Ученик: Синус и косинус угла 4π/3 отрицательные.

Учитель: Чему равен синус и косинус угла 7π/6?

Учитель: Какими свойствами обладает синус угла t?

Ученик: sin(-t) =-sin t; sin(t+2πk) =sin t; sin(t+π) =-sin t

Учитель: Какими свойствами обладает косинус угла t?

Ученик: cos(-t) =cos t; cos(t+2πk) =cos t; cos(t+π) =-cos t

3. Изучение нового материала.

Учитель: Тема нашего сегодняшнего урока «Тангенс и котангенс угла». На этом уроке мы с вами дадим определение тангенса и котангенса угла t, изучим их свойства и применение их на практике. А теперь откроем тетради, запишем число, классная работа, и тему нашего сегодняшнего урока «Тангенс и котангенс угла».

Запись на доске и в тетрадях:

Тангенс и котангенс угла

Учитель: (Слайд 3) Запишем с вами определение тангенса и котангенса угла: Отношение синуса угла t к косинусу того же угла называют тангенсом угла t и обозначают tg t. Отношение косинуса угла t к синусу того же угла называют котангенсом угла t и обозначают ctg t.

Учитель: Говоря о тангенсе угла t мы подразумеваем, что косинус угла не равен 0.

А говоря о котангенсе угла t мы подразумеваем, что синус угла не равен 0.

Как вы думаете почему?

Ученик: Потому что на 0 делить нельзя.

Учитель: А в каких точках косинус и синус угла t принимают значение 0?

Содержимое разработки

Конспект урока по алгебре и начала математического анализа для учащихся 10 класса среднего общеобразовательного учреждения

Тема урока: «Тангенс и котангенс угла»
Цель урока:
Образовательная:

Ввести для учащихся понятия тангенса и котангенса угла t; научить их решать простейшие тригонометрические уравнения с использованием данных понятий.

показать важность и необходимость изучения данной темы для учащихся;

дать учащимся определение понятий тангенса угла t и котангенса угла t;

познакомить учащихся с таблицей знаков tg t и ctg t по четвертям числовой окружности;

повторение ранее изученного материала;

ввести таблицу часто встречаемых значений tg t и ctg t;

разобрать с учащимися простейшие примеры решения тригонометрических уравнений;

познакомить учащихся со свойствами tg t и ctg t.

Развивающая:
Способствовать развитию наблюдательности, логического мышления, памяти, внимания учащихся, их интереса к изучению предмета.
Воспитательная:
Воспитание у учащихся дисциплинированности на уроке, аккуратности, трудолюбия, способствовать формированию аргументировано отстаивать свою точку зрения, умение выслушать других
Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: индуктивно- репродуктивный

Персональный компьютер, оснащенный ОС Windows 7 Профессиональный; мультимедийный проектор; интерактивная доска; презентация на тему «Тангенс и котангенс угла»

Учебно-методическое обеспечение урока:

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов.­ – 5-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2008. – 424 с.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.10 класс. В 2 ч. Ч.2. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В.Семенов.­ – 5-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2008. – 343 с.

Саранцев Г. И. «Методика обучения математики в средней школе.: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 223 с.

Всем кто учится.[Электронный ресурс] /А.Васильев, Санкт-Петербург, 2006г./ Режим доступа:  www.aleng.ru

1. Организационный момент (2 минута)
2. Актуализация знаний (3 минут)
3. Изучение нового материала (12 минут)
4. Закрепление изученного материала (25 минут)
5. Подведение итогов (2 минуты)
6. Домашнее задание (1 минута)

1. Организационный момент включает в себя:
Приветствие учителем учащихся, проверка отсутствующих, готовности помещения к уроку.

2. Актуализация знаний. (Проводится в виде фронтального опроса, вопросы которого показаны на Слайде 2)

Учитель: На прошлом уроке нами была изучена тема «Синус и косинус угла». Дома вы должны были выучить определение синуса и косинуса угла t, знаки синуса и косинуса угла по четвертям числовой окружности, а так же часто встречаемые значения синуса и косинуса угла. Для этого ответьте на следующие вопросы:

И так, что же такое косинус угла t и синус угла t?

Ученик: Если точка М числовой окружности соответствует углу t, то абсциссу точки М называют косинусом угла t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом угла t и обозначают sin t.

Ученик: Cинус и косинус угла π/4 положительные.

Ученик: Синус и косинус угла 4π/3 отрицательные.

Учитель: Чему равен синус и косинус угла 7π/6?

Ученик: 7π/6

Ученик: Косинус угла 5π/3 равен

Учитель: Какими свойствами обладает синус угла t?

Учитель: Какими свойствами обладает косинус угла t?

3. Изучение нового материала.

Учитель: Тема нашего сегодняшнего урока «Тангенс и котангенс угла». На этом уроке мы с вами дадим определение тангенса и котангенса угла t, изучим их свойства и применение их на практике. А теперь откроем тетради, запишем число, классная работа, и тему нашего сегодняшнего урока «Тангенс и котангенс угла».
Запись на доске и в тетрадях:

Тангенс и котангенс угла
Учитель: (Слайд 3) Запишем с вами определение тангенса и котангенса угла: Отношение синуса угла t к косинусу того же угла называют тангенсом угла t и обозначают tg t. Отношение косинуса угла t к синусу того же угла называют котангенсом угла t и обозначают ctg t.

.

Запись в тетради: .

Учитель: Говоря о тангенсе угла t мы подразумеваем, что косинус угла не равен 0.

А говоря о котангенсе угла t мы подразумеваем, что синус угла не равен 0.

Как вы думаете почему?

Ученик: Потому что на 0 делить нельзя.

Учитель: А в каких точках косинус и синус угла t принимают значение 0?

Ученик: Косинус угла принимает значение ноль в углах , а Синус угла принимает значение ноль в

Учитель: (Слайд 4) Тогда определение тангенса и котангенса угла t определим следующим образом:

.

Запись в тетради: .

Учитель: (Слайд 5) Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса угла t, мы легко можем составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса угла t. Чертим таблицу в тетради, как изображено на слайде. Мы теперь знаем, что тангенс угла это отношение синуса угла t к косинусу того же угла. Какие знаки имеют синус и косинус угла в 1 четверти?

Ученик: Синус угла в 1 четверти имеет положительное значение, так же как и косинус угла.

Учитель: Тогда какие знаки имеют тангенс и котангенс угла в 1 четверти?

Ученик: Тангенс и котангенс угла в 1 четверти имеют положительное значение.

(Остальная часть таблицы заполняется аналогично)

Учитель: Давайте с вами вычисли тангенс и котангенс угла:

Запись в тетради: Вычислить:

Учитель: Мы с вами видим, что зная значения синуса и косинуса угла t, мы легко можем найти тангенс и котангенс угла. Давайте с вами составим таблицу часто встречаемых значений тангенса и котангенса угла t. Зафиксируйте таблицу, которая представлена на слайде. (Слайд 6)

Учитель: Чему будет равен тангенс и котангенс в нуле?

Ученик: Так как тангенс угла это отношение синуса угла к косинусу того же угла, синус нуля равен 0, а косинус нуля равен 1, тогда тангенс нуля будет равен 0, а котангенс этого угла не существует, так как на ноль делить нельзя.

(Остальная часть таблицы заполняется аналогично)

Учитель: (Слайд 7) Рассмотрим с вами свойства тангенса и котангенса угла t

Свойство 1: Для любого допустимого значения угла t справедливы равенства:

Давайте его докажем.

Запись на доске и в тетради:

Свойство 1: Для любого допустимого значения угла t справедливы равенства:

Учитель: ( Слайд 8) Свойство 2:Для любого допустимого угла t справедливы равенства

Тогда мы можем записать второе свойство следующим образом:

Запись на доске в тетради:

Свойство 2:Для любого допустимого значения угла t справедливы равенства

Учитель: Давайте с вами рассмотрим примеры:

Запись на доске и в тетради: Вычислить:

4. Закрепление первичного материала
Учитель: А теперь давайте решим номер ( №13.8 а, б )

это табличное значение и оно равно 1. А так как у нас то

Запись на доске и в тетради:

Учитель: Следующий номер 13.9 (а, б)

Ученик: Что бы вычислить значение этого выражения мы должны вспомнить значение Это все табличные значения.

Подставляем эти значения в выражение и получаем

Запись на доске в тетради:

Учитель: Следующий номер 13.10 (а, б)

Запись на доске и в тетради:

Учитель: Следующий номер 13.12 (а)

Запись на доске и в тетради:

Учитель: Следующий номер 13.15 (а, б), 13.16 (а,б)

Источник

Тангенс, котангенс

Урок 8. Алгебра 10 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Тангенс, котангенс»

· познакомиться с понятиями тангенса и котангенса;

· узнать, как понятия тангенса и котангенса связаны с координатами точек числовой окружности;

· узнать какие знаки имеют тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти единичной окружности располагается точка.

Прежде чем приступить к изучению темы, давайте вспомним определения синуса и косинуса.

Легко построить таблицу знаков тангенса и котангенса по четвертям окружности.

Зная таблицы основных значений синуса и косинуса, легко построить таблицу основных значений тангенса и котангенса. Достаточно разделить соответствующие значения синуса и косинуса друг на друга. В итоге получим следующую таблицу основных значений тангенса и котангенса.

Для тангенса и котангенса выполняются свойства, аналогичные тем, что были сформулированы для синуса и косинуса.

Свойство 1. Для любого t справедливы равенства:

Свойство 2. Для любого t справедливы равенства:

Свойство 3. Для любого t справедливы равенства:

Для синуса и косинуса у нас есть геометрическая иллюстрация на числовой окружности. Можно дать и геометрическую иллюстрацию для тангенса.

Источник

Технологическая карта урока «Определение тангенса и котангенса угла и их графики»

Технологическая карта. Разработка урока по теме: «Функции у = tg х, у = ctg xy их свойства и графики».

В ней нет решения домашнего задания

Просмотр содержимого документа
«Технологическая карта урока «Определение тангенса и котангенса угла и их графики»»

Тема урока: § 14. Функции у = tg ху у = ctg xy их свойства и графики.

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока: в направлении личностного развития: вызвать у учащихся познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину поведения;

в метапредметном направлении: применение основных методов познания для изучения различных сторон окружающей действительности, перерабатывать и предъявлять информацию в словесной, образной, символической формах, анализировать и перерабатывать полученную информацию, выделять основное содержание прочитанного текста;

Изучаемые понятия (термины): тангенс, котангенс

Оборудование: раздаточный материал, мультимедия аппаратура.

Предварительная организация класса

Подготовить учеников к работе, восприятию материала

Логический анализ объектов с целью выделения признаков. Поиск и выделение необходимой информации.

Выделение и осознание того, что уже пройдено.

Постановка учебной задачи на основе известного.

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог.

Изучение нового материала

Установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция.

Обеспечение усвоения знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации

Поиск и выделение необходимой информации.

Построение логической цепи рассуждений.

Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.

Построение логической цепи рассуждений.

Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи.

Контроль полученного результата.

Коррекция полученного результата.

Умение слушать и вступать в диалог.

Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Участие в коллективном обсуждении проблем.

Ориентация в межличностных отношениях. Самоопределение.

Постановка задания на дом

Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания

Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности.

Учет разных мнений.

Выражение и аргументация своего выбора.

Нравственно – этическая ориентация

Открытость учащихся в осмыслении своих действий и самооценке

Оценка промежуточных результатов.

Самооценка своих действий на уроке.

Приветствую учащихся, поверяю готовность к уроку, организую внимание.

— Добрый день, ребята, присаживайтесь!

— Проверьте, пожалуйста, все ли у вас готово к уроку. Откройте тетради и запишите число и классную работу.

Приветствуют учителя, проверяют подготовку своих рабочих мест.

Записывают в тетрадях дату, классную работу.

Провожу устный опрос для актуализации знаний.

— Сформулируйте определения арккосинуса, арксинуса.

Предлагаю устно решить задания:

— Давайте предположим, о чем сегодня мы поговорим.

Отвечают на вопрос учителя:

1-ый: «Арксинус числа a∈[−1, 1] – это угол −90°≤α≤90° (−π/2≤α≤π/2), синус которого равен a»,

2-ой: «Арккосинус числа a∈[−1, 1] – это угол 0°≤α≤180° (0≤α≤π), косинус которого равен a».

Сверяются с тригонометрическим кругом, и дают ответы на примеры.

— О выражениях содержащих синусы и косинусы

Изучение нового материала

— На данном уроке мы познакомимся с такими тригонометрическими функциями как косинус и котангенс. Ранее вы уже сталкивались с тангенсами и котангенсами. Скажите, где ранее вы слышали о них?

— Для начала рассмотрим числовую окружность в координатной плоскости. Дано произвольное число t. Ему соответствует единственная точка M на окружности. У точки есть две координаты.

Координату назвали косинусом числа t координату синусом числа t.

Вспомним, что тангенсом числа t называется отношение синуса t к косинусу t. Котангенсом t называется отношение косинуса t к синусу t.

Определим связь между тангенсом и котангенсом.

Линии синусов и косинусов – это координатные оси. Линией тангенсов является касательная к окружности в точке A, параллельная оси y, линией котангенсов – касательная в точке B, параллельная оси x (рис. 2).

Вычислим тангенсы и котангенсы основных углов.

Предлагаю заполнить таблицу и увидеть закономерность

Направляю ход решения.

Значения тангенса и котангенса угла найдем из прямоугольного равнобедренного треугольника (рис. 3):

Изобразим полученные значения тангенсов на числовой окружности (рис. 4).

— Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов.

Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.

Приведем основные свойства функции у = tg х:

3. Функция возрастает на промежутках вида где к ∈ Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + пk) = у(х).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты

Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения строится график функции у = ctg x.

Перечислим основные свойства функции у = ctg x:

3. Функция убывает на промежутках вида (пk; п + пk), к ∈ Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + пk) = у(x).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = пk.

— Давайте решим несколько заданий.

№14.1 (а,б), №14.4 (а,б), №14.2 (а), №14.3 (а,б),

— На уроках геометрии при изучении тем связанных с треугольником.

Слушают учителя и смотрят на слайд, конспектируют

Источник