в каком классе бывает геометрия
В каком классе бывает геометрия
Войти
Авторизуясь в LiveJournal с помощью стороннего сервиса вы принимаете условия Пользовательского соглашения LiveJournal
Список учебных предметов, изучаемых в школе (11-летнее обучение) в РФ
Список учебных предметов, изучаемых в школе (11-летнее обучение)
Математические
Матема́тика: 1—6 класс.
Алгебра: 7—11 класс.
Геометрия: 7—11 класс.
Статистика: 7(10-11) класс (не везде).
Экономика: 9(10)-11 класс
Информа́тика (ИКТ): 3(5)—11 класс (по БУП 2004 года во 3-4 классах в рамках предмета Технология, в 8-9 классах как самостоятельный предмет, в 10-11 не входит в инвариативную часть, поэтому изучается не везде).
Естественно-научные
Окружающий мир: 1-4 класс
География: 5—11 класс
Биология: 5—11 класс
Астрономия: 11 класс (не везде)
Физика: 7—11 класс.
Химия: 8—11 класс.
ОБЖ: 7(9)-10 класс.
Естествознание: 9—11 класс (не везде)
Гуманита́рные
Исто́рия: 5—11 классы.
Гражданове́дение: 5—7 классы
Обществозна́ние: 6—11 классы
Основы религиозных культур и светской этики: 4 класс 4 четверть—5 класс 1 четверть (с 1 апреля 2010 года). Включает:
«Основы православной культуры»
«Основы исламской культуры»
«Основы буддийской культуры»
«Основы иудейской культуры»
«Основы мировых религиозных культур»
«Основы светской этики»
Филологи́ческие
Чистописание 1 класс
Русский язык 2—11 класс
Чтение 1—4 класс
Литература 5—11 класс
Иностранный язык (1)2—11 класс
Трудовое обучение
Труд: 1-4 класс.
Технология : 5—11 класс.
Черчение: как правило, в некоторые из старших (7-11) классов. В БУП РФ 2004 и 2011 года отсутствует.
Физкультура
Физкультура: 1—11 класс.
Различные виды спорта, возможно, по выбору или как факультатив, например:
Шахматы: 1—4 класс.
Волейбол: 4—6 класс.
Настольный теннис
Футзал и др.
Искусство в школе
Прочие (факультативы)
Основы экономики (Экономика): 10—11 класс
ОПТ (общественно-полезный труд): 10—11 класс
Начальная военная подготовка: 10-11 класс
ОБЖ: 5—11 класс
Риторика: 11 класс
Основы религиозных культур и светской этики: 4—5 класс
Правоведение: 10—11 класс
Философия: 10—11 класс
Краеведение: 6—9 класс.
Экология: 10—11 класс
Классный час: 1—11 класс.
Психотренинг (развитие познавательных способностей): 1—4 класс
Элективный курс: 5-11 классы.
Особенности построения курса геометрии для 7-9 классов в УМК по математике
Темы курса «Геометрия» для 7-9 классов
7 класс: «Простейшие геометрические фигуры и их свойства», «Треугольники», «Параллельные прямые», «Окружность и круг. Геометрические построения»
8 класс: «Четырехугольники», «Подобие треугольников», «Решение прямоугольных треугольников», «Многоугольники, площадь многоугольника».
9 класс: «Решение треугольников», «Правильные многоугольники», «Декартовы координаты», «Векторы», «Геометрические преобразования».
Состав УМК «Геометрия»
Электронные формы учебников.
Особенности курса
1. Мотивация учеников. Часто детей убеждают, что геометрия — это очень сложно. Однако в изучении любого предмета важен позитивный настрой. В начале учебника для 7 класса авторы разъясняют школьнику, что на уроках геометрии он будет работать с уже знакомыми фигурами — только на новом уровне.
2. Наглядность и доступность материала. Текст учебников ясен и лаконичен. Понятия и определения представлены простым понятным языком. В чертежах используются цветовые решения (например, для демонстрации доказательств теорем).
Пример из учебника
Определение: Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
Часто справедливость (истинность) какого-либо факта приходится устанавливать с помощью логических рассуждений. Рассмотрим такую задачу. Известно, что все жители Геометрической улицы — математики. Женя живет по адресу: ул. Геометрическая, 5. Является ли Женя математиком? Из условия задачи следует, что Женя живет на Геометрической улице. А поскольку все жители этой улицы математики, то Женя — математик. Приведенные логические рассуждения называют доказательством того факта, что Женя — математик. В математике утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называют теоремой.
Теорема: Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
3. Разумное сочетание строгости и доступности. Авторы сделали упор на опыт и наглядность, потому что материал, изложенный слишком строго, не усваивается подростками. Чрезмерное же упрощение делает курс ненаучным, чего тоже нельзя допускать.
4. Многообразие задач. Упражнения в учебнике делятся по уровням сложности: простые, среднего уровня, сложные, для математических кружков и факультативов. Такое разделение позволяет учителю реализовать самооценку и саморегуляцию учеников.
5. Рубрика «Проверь себя». Чтобы ученик мог сам проверить, насколько хорошо он усвоил новый материал, в конце каждой главы приведены специальные задания (в учебнике также есть ключи к ним). Упражнения «Проверь себя» даются вместе с жатым материалом «Итоги главы» для повторения материала.
6. Помощь в организации проектной работы. В учебниках представлены темы для проектных работ. Чтобы ученик знал, где искать актуальную информацию, к каждой теме даны список литературы и адреса интернет-ресурсов.
7. Рубрика «Дружим с компьютером». Упражнения в этом разделе учат детей выполнять задания при помощи графических редакторов, что можно использовать для проектной и внеурочной деятельности.
8. Подготовка к олимпиадам. На счету авторов УМК 30 учеников-победителей математических соревнований международного уровня. Опыт позволил создателям курса реализовать в учебниках целую систему задач для подготовки к олимпиадам.
Пример из учебника
Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырехугольника является восьмиугольник.
Разрежьте ромб на четыре четырехугольника так, чтобы каждый из них являлся вписанным в окружность и описанным около окружности.
9. Справочный материал. На форзацах представлены латинский и греческий алфавиты, а также справочный материал о происхождении математических терминов — что позволяет расширить познавательную деятельность на уроке.
10. Задачи в рабочих тетрадях: от простого к сложному. Содержание рабочих тетрадей представляет разноуровневые задания. Материал выстроен таким образом, чтобы ребенок последовательно двигался к успеху в решении задач: от вписывания ответов до подробной работы над чертежами.
11. Дидактические материалы и методические пособия. В изданиях для педагогов представлены дополнительные задания, подробный план каждого урока в форме технологической карты, контрольные работы, математические диктанты, рекомендации по проектной деятельности, рекомендации по использованию на уроках отдельных упражнений и т.д.
12. Большое количество задач с готовыми чертежами. Ученикам не нужно тратить время на то, чтобы вникнуть в условия — все видно на иллюстрациях. Благодаря этому школьник успевает решить больше задач, «набивает руку».
13. Практическая геометрия. В специальном разделе учебника авторы рассказывают, каким образом правила геометрии применяются в окружающей жизни. Например, как жесткость треугольника позволяет создавать конструкции для электропроводов. На наглядном материале педагог может объяснить ученикам, что знания, полученные на уроках геометрии — не абстрактные, а важные в повседневности.
14. Формулы площади треугольника возведены в ранг теорем. Не секрет, что часто формулы, кроме пары основных, не выделяются и ускользают от внимания учеников. Однако в некоторых случаях нераспространенная формула являются единственным путем к решению задачи. Чтобы ученики обладали полным арсеналом знаний, все способы вычисления площади треугольника в учебнике 9 класса представлены ярко, и для закрепления каждой формы даны специальные задачи.
15. Рубрика «Готовимся к изучению новой темы». В учебнике предложены задачи для повторения пройденного материала, на основе которого будет изучен новый. Упражнения в разделе несложные: их можно задавать на дом, предварительно не разбирая.
16. Рубрика «Когда сделаны уроки». Ученикам предлагается поработать над сложными задачами, изучить серьезный материал, пользуясь знакомыми и удобными теоремами.
17. Метод ключевых задач. В тексте параграфа и в разделе для самостоятельной работы отмечены ключевые задачи, решениями которых можно пользоваться в работе с другими заданиями.
Обобщим: в основу УМК лег наглядно-дедуктивный принцип в сочетании с частичной аксиоматизацией.
Пример урока по УМК «Геометрия». Тема «Перпендикулярные прямые»
1. Даем схему города, населенного пункта. Отмечаем буквами а и b перпендикулярные улицы, буквой с место их пересечения, буквой d улицу, расположенную от них под острым углом. Задаем вопрос: «Представьте, что к вам на улице а подошли путешественники и просят подсказать дорогу до ближайшего кафе на улице b. Как вы объясните, куда им сворачивать из точки с, если нет названий улиц?». Вероятно, ребята уже знают словосочетание «перпендикулярная улица». Так мы подводим учеников к теме урока.
2. Обращаемся к справочнику на форзаце. Находим, что «перпендикулярный» означает «отвесный». Обсуждаем с ребятами, что такое отвес и какое отношение он имеет к перпендикулярности.
3. Смотрим определение в учебнике: Две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол. Отсюда следует вопрос: если один угол прямой, какова градусная мера оставшихся углов?
4. Изучаем следующее определение: Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Обсуждаются понятия перпендикулярности двух отрезков, отрезка и луча и т.д.
5. Разбираем понятия «основание перпендикуляра», «наклонная», «расстояние от точки до прямой». Обсуждаем, опираясь на рисунок: почему в качестве расстояния от точки до прямой выбрана именно длина перпендикуляра, а не длина наклона? Выясняем, что наклонных можно провести бесконечно много, а перпендикуляр только один. Так подводим к теореме: Через каждую точку прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.
6. Практическое закрепление знаний начинаем с обсуждения заданий по готовым чертежам.
7. Даем практические задания. Чтобы не тратить время, используем упражнения в рабочей тетради с готовыми чертежами.
8. Некоторым ученикам предлагаем более сложные задачи на доказательство или нахождение величины угла.
Пример из учебника
Докажите, что если биссектрисы углов АОВ и ВОС перпендикулярны, то точки А, О и С лежат на одной прямой.
9. Разбираем всем классом или группой учеников объемную задачу.
Пример из учебника
Угол АВС равен 160 °, лучи ВК и ВМ проходят между сторонами этого угла и перпендикулярным им. Найдите угол МВК.
10. Задаем на дом или разбираем на уроке задачу для кружка или факультатива.
Если вы еще не работали с представленным УМК «Геометрия», можете бесплатно апробировать электронные учебники комплекта. Для этого перейдите на сайт Lecta.ru и воспользуйтесь промо-кодом 5books.
Основы геометрии
Идеальные объекты
Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Основные геометрические объекты: окружность, квадрат, ромб, прямоугольник, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, правильный многоугольник, эллипс и другие.
Все эти фигуры обладают двумя свойствами:
Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.
У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.
Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).
Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.
Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.
Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.
Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.
Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.
Базовые геометрические объекты
Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.
Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.
Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.
Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.
Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.
Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.
Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b,c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).
Два варианта расположения точек относительно прямой:
Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:
Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — 
,
то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n).
Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.
На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:
Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.
Назовем получившиеся лучи:
Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.
Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости
Комбинации простейших объектов
Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.
Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.
Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.
Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.
Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:
Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.
Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.
А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.
Первый случай: все три прямые параллельны.
Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.
Треугольник
Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.
Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.
Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.
Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:
Приходи на наши онлайн уроки по математике с лучшими препадавателями! Для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства треугольников
Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.
Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.
Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.
Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.
Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: ΔABC = ΔA1B1C1.
Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.
Первый признак равенства треугольников звучит так:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.
Подобные треугольники
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Треугольники АВС и A1B1C1 будут подобны, если
Число k, которое равно отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Подобие треугольников обозначают специальным символом — ∾. На рисунке треугольники АВС и A1B1C1 подобны, это можно записать так: ΔАВС ∾ ΔA1B1C1.
Теорема о первом признаке подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны — такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия 1/2.
На рисунке изображен треугольник АВС. Отрезки МЕ, МК и КЕ — средние линии данного треугольника, ΔВМЕ = ΔАМК = ΔСЕК = ΔМЕК.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Важно понимать, что подобие в математике — это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что они похожи потому, что их стороны пропорциональны.
Пример подобия — карта. Она подобна местности, которую отражает. А масштаб — это и есть коэффициент подобия. С треугольниками или другими фигурами точно также.
Классификация треугольников по их сторонам
Для классификации треугольников можно использовать их типологию.
Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.
Свойства прямоугольного треугольника
С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.
Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.
Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.
Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.
От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃
Четырехугольники
Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.
Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.
Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:
Окружность
Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.
Взаимодействие объектов
Следующий уровень — это взаимодействие всех-всех объектов, о которых мы говорили раньше.
Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может ее пересекать, а может касаться, то есть пересекать в одной точке.
Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, который лежит на на этой прямой.
На рисунке прямая a проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.
Если прямая a не проходит через центр О окружности радиуса r, то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности — в зависимости от соотношения между радиусом r этой окружности и расстоянием d от центра окружности до прямой a. Вот эти случаи:
Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность.
На рисунке четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.
В любой треугольник можно вписать только одну окружность, и вокруг любого ее можно описать.
Все это верно только для треугольников. Не в любой четырехугольник можно вписать окружность, и не вокруг любого можно описать. Более подробно эту тему можно изучить на уроках математики: признаки, теоремы и правила.
Практическая сторона геометрии
Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.
Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.
А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.
Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.
Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.
Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.
Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.