1. Он открыл законы движения планет: а) Кеплер + б) Гершель в) Ньютон
2. Что такое афелий: а) Наиболее приближенная точка к Солнцу б) Наиболее удаленная точка от Солнца + в) Отклонение небесного тела от орбиты под влиянием иных сил
3. Как называется ближайшая точка к Солнцу: а) Пертурбация б) Апоцентр в) Перигелий +
4. Как называется кривая, с которой совпадают положения Марса на орбите: а) Эллипс + б) Дуга в) Окружность
5. В каком году Кеплер опубликовал два открытых им закона: а) В 1619 году б) В 1632 году в) В 1609 году +
6. Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце: а) Второй закон Кеплера б) Первый закон Кеплера + в) Третий закон Кеплера
7. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади: а) Третий закон Кеплера б) Первый закон Кеплера в) Второй закон Кеплера +
8. Укажите звёздный период обращения Марса: а) 687 суток + б) 547 суток в) 789 суток
9. Он провел многолетние определения координат Марса и его конфигураций: а) Флемстид б) Байер в) Браге +
10. Благодаря наблюдениям за какой планетой Кеплер смог построить орбиты планет: а) Венера б) Марс + в) Меркурий
11. Какое событие окончательно подтвердило справедливость закона всемирного тяготения: а) Открытие Нептуна + б) Открытие Сатурна в) Открытие Урана
12. Кто открыл Уран: а) Галилей б) Гершель + в) Леверье
13. Изменяется ли скорость планеты при движении по её орбите: а) Да, скорость тем больше, чем планета ближе к Солнцу + б) Нет, скорость постоянна в) Да, скорость тем меньше, чем планета ближе к Солнцу
14. Орбита какой планеты в Солнечной системе имеет наибольший эксцентриситет: а) Уран б) Венера в) Меркурий +
15. В каком году Кеплер сформулировал свой первый закон: а) В 1616 году + б) В 1618 году в) В 1620 году
16. Как называется отношение расстояния между фокусами эллипса к его большой оси: а) Полуось б) Эксцентриситет + в) Перигелий
17. Какую форму орбиты для Марса предложил Кеплер: а) Парабола б) Круг в) Эллипс +
18. Движение какой планеты изучал Кеплер, используя наблюдения Браге: а) Сатурна б) Марса + в) Юпитера
19. Чьи наблюдения за планетами обработал Иоганн Кеплер: а) Птолемея б) Коперника в) Браге +
20. Ближайшая к Земле точка орбиты Луны или какого-нибудь искусственного спутника Земли называется: а) Перигелием б) Перигеем + в) Апогеем
21. При каких условиях движение небесных тел будет происходить в точности по законам Кеплера: а) В случае, если существуют лишь два взаимно притягивающихся тела + б) Если в Солнечной системе не одна планета, а много, и каждая из них испытывает со стороны других возмущения в) Если в Солнечной системе одна планета
22. В чем состояло уточнение Ньютоном третьего закона Кеплера: а) Во введении в формулу второго закона Кеплера множителя, учитывающего суммарную массу Солнца и планеты б) Во введении в формулу третьего закона Кеплера множителя, учитывающего суммарную массу Солнца и планеты + в) Во введении в формулу первого закона Кеплера множителя, учитывающего суммарную массу Солнца и планеты
23. Как происходит видимое движение планет: а) Планеты перемещаются по эллипсу б) Планеты перемещаются по окружности в) Планеты перемещаются петлеобразно +
24. Как меняется значение скорости движения планеты при ее перемещении от афелия к перигелию: а) В афелии скорость планеты минимальная, затем она возрастает и в перигелии становится равной нулю б) В афелии скорость планеты минимальная, затем она возрастает и в перигелии становится максимальной + в) В афелии скорость планеты максимальная, затем она возрастает и в перигелии становится минимальной
26. Почему движение планет происходит не в точности по законам Кеплера: а) В Солнечной системе не одна планета, а много, и каждая из них движется петлеобразно б) В Солнечной системе не одна планета, а много, и каждая из них испытывает со стороны других возмущения + в) В Солнечной системе не одна планета, а много, и каждая из них практически имеет несколько спутников
27. Как меняется значение скорости движения планеты при ее перемещении от перигелия к афелию: а) Уменьшается согласно второму закону Кеплера: в перигелии она максимальна, а в афелии минимальна + б) Увеличивается согласно второму закону Кеплера: в перигелии она максимальна, а в афелии минимальна в) Уменьшается согласно второму закону Кеплера: в перигелии она минимальна, а в афелии максимальна
28. Один из фактов, подтверждающий аккреционную теорию образования Солнечной системы: а) Часть планет Солнечной системы обращаются вокруг Солнца с запада на восток, а другая часть – наоборот б) Планеты гиганты обращаются вокруг Солнца в одном направлении, а планеты земной группы – в другом направлении в) Все планеты обращаются вокруг Солнца в одном и том же направлении +
29. Один из фактов, подтверждающий аккреционную теорию образования Солнечной системы: а) Орбиты всех планет лежат почти в плоскости эклиптики + б) Планеты гиганты обращаются вокруг Солнца в одном направлении, а планеты земной группы – в другом направлении в) Часть планет Солнечной системы обращаются вокруг Солнца с запада на восток, а другая часть – наоборот
30. Как еще называют законы движения планет: а) Законы Гершеля б) Законы Кеплера + в) Законы Браге
В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.
Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.
Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.
С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (
140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.
Рисунок 1.24.1. Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд
Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном Иоганн Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Тихо Браге.
Первый закон Кеплера (1609 г.):
Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.
Рисунок 1.24.2. Эллиптическая орбита планеты массой m –11 Н·м 2 /кг 2 – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.
Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2
Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.
Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.
Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).
Рисунок 1.24.5. Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле
Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа гравитационной силы на малом перемещении есть:
Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:
В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение
Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.
Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна
В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.
Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).
При E = E1rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).
Рисунок 1.24.6. Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R
При E = E2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.
При E = E3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.
Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.
Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.
Эту скорость необходимо набрать, чтобы преодолеть притяжение Земли и вывести тело (например, спутник) на орбитуЗемли.
Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.
Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·10 3 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2·10 3 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.
Планеты движутся вокруг Солнца по вытянутым эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одной из двух фокальных точек эллипса.
Отрезок прямой, соединяющий Солнце и планету, отсекает равные площади за равные промежутки времени.
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Иоганн Кеплер обладал чувством прекрасного. Всю свою сознательную жизнь он пытался доказать, что Солнечная система представляет собой некое мистическое произведение искусства. Сначала он пытался связать ее устройство с пятью правильными многогранниками классической древнегреческой геометрии. (Правильный многогранник — объемная фигура, все грани которой представляют собой равные между собой правильные многоугольники.) Во времена Кеплера было известно шесть планет, которые, как полагалось, помещались на вращающихся «хрустальных сферах». Кеплер утверждал, что эти сферы расположены таким образом, что между соседними сферами точно вписываются правильные многогранники. Между двумя внешними сферами — Сатурна и Юпитера — он поместил куб, вписанный во внешнюю сферу, в который, в свою очередь, вписана внутренняя сфера; между сферами Юпитера и Марса — тетраэдр (правильный четырехгранник) и т. д.* Шесть сфер планет, пять вписанных между ними правильных многогранников — казалось бы, само совершенство?
Увы, сравнив свою модель с наблюдаемыми орбитами планет, Кеплер вынужден был признать, что реальное поведение небесных тел не вписывается в очерченные им стройные рамки. По меткому замечанию современного британского биолога Дж. Холдейна (J. B. S. Haldane), «идея Вселенной как геометрически совершенного произведения искусства оказалась еще одной прекрасной гипотезой, разрушенной уродливыми фактами». Единственным пережившим века результатом того юношеского порыва Кеплера стала модель Солнечной системы, собственноручно изготовленная ученым и преподнесенная в дар его патрону герцогу Фредерику фон Вюртембургу. В этом прекрасно исполненном металлическом артефакте все орбитальные сферы планет и вписанные в них правильные многогранники представляют собой не сообщающиеся между собой полые емкости, которые по праздникам предполагалось заполнять различными напитками для угощения гостей герцога.
Лишь переехав в Прагу и став ассистентом знаменитого датского астронома Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546–1601), Кеплер натолкнулся на идеи, по-настоящему обессмертившие его имя в анналах науки. Тихо Браге всю жизнь собирал данные астрономических наблюдений и накопил огромные объемы сведений о движении планет. После его смерти они перешли в распоряжение Кеплера. Эти записи, между прочим, имели большую коммерческую ценность по тем временам, поскольку их можно было использовать для составления уточненных астрологических гороскопов (сегодня об этом разделе ранней астрономии ученые предпочитают умалчивать).
Обрабатывая результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер столкнулся с проблемой, которая и при наличии современных компьютеров могла бы показаться кому-то трудноразрешимой, а у Кеплера не было иного выбора, кроме как проводить все расчеты вручную. Конечно же, как и большинство астрономов его времени, Кеплер уже был знаком с гелиоцентрической системой Коперника (см. Принцип Коперника) и знал, что Земля вращается вокруг Солнца, о чем свидетельствует и вышеописанная модель Солнечной системы. Но как именно вращается Земля и другие планеты? Представим проблему следующим образом: вы находитесь на планете, которая, во-первых, вращается вокруг своей оси, а во-вторых, вращается вокруг Солнца по неизвестной вам орбите. Глядя в небо, мы видим другие планеты, которые также движутся по неизвестным нам орбитам. Наша задача — определить по данным наблюдений, сделанных на нашем вращающемся вокруг своей оси вокруг Солнца земном шаре, геометрию орбит и скорости движения других планет. Именно это, в конечном итоге, удалось сделать Кеплеру, после чего, на основе полученных результатов, он и вывел три своих закона!
Первый закон** описывает геометрию траекторий планетарных орбит. Возможно, вы помните из школьного курса геометрии, что эллипс представляет собой множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек — фокусов — равна константе. Если это слишком сложно для вас, имеется другое определение: представьте себе сечение боковой поверхности конуса плоскостью под углом к его основанию, не проходящей через основание, — это тоже эллипс. Первый закон Кеплера как раз и утверждает, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Эксцентриситеты (степень вытянутости) орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно — Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса. Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов.
Историческое значение первого закона Кеплера трудно переоценить. До него астрономы считали, что планеты движутся исключительно по круговым орбитам, а если это не укладывалось в рамки наблюдений — главное круговое движение дополнялось малыми кругами, которые планеты описывали вокруг точек основной круговой орбиты. Это было, я бы сказал, прежде всего философской позицией, своего рода непреложным фактом, не подлежащим сомнению и проверке. Философы утверждали, что небесное устройство, в отличие от земного, совершенно по своей гармонии, а поскольку совершеннейшими из геометрических фигур являются окружность и сфера, значит планеты движутся по окружности (причем это заблуждение мне и сегодня приходится раз за разом развеивать среди своих студентов). Главное, что, получив доступ к обширным данным наблюдений Тихо Браге, Иоганн Кеплер сумел перешагнуть через этот философский предрассудок, увидев, что он не соответствует фактам — подобно тому как Коперник осмелился убрать Землю из центра мироздания, столкнувшись с противоречащими стойким геоцентрическим представлениям аргументами, которые также состояли в «неправильном поведении» планет на орбитах.
Второй закон описывает изменение скорости движения планет вокруг Солнца. В формальном виде я его формулировку уже приводил, а чтобы лучше понять его физический смысл, вспомните свое детство. Наверное, вам доводилось на детской площадке раскручиваться вокруг столба, ухватившись за него руками. Фактически, планеты кружатся вокруг Солнца аналогичным образом. Чем дальше от Солнца уводит планету эллиптическая орбита, тем медленнее движение, чем ближе к Солнцу — тем быстрее движется планета. Теперь представьте пару отрезков, соединяющих два положения планеты на орбите с фокусом эллипса, в котором расположено Солнце. Вместе с сегментом эллипса, лежащим между ними, они образуют сектор, площадь которого как раз и является той самой «площадью, которую отсекает отрезок прямой». Именно о ней говорится во втором законе. Чем ближе планета к Солнцу, тем короче отрезки. Но в этом случае, чтобы за равное время сектор покрыл равную площадь, планета должна пройти большее расстояние по орбите, а значит скорость ее движения возрастает.
В первых двух законах речь идет о специфике орбитальных траекторий отдельно взятой планеты. Третий закон Кеплера позволяет сравнить орбиты планет между собой. В нем говорится, что чем дальше от Солнца находится планета, тем больше времени занимает ее полный оборот при движении по орбите и тем дольше, соответственно, длится «год» на этой планете. Сегодня мы знаем, что это обусловлено двумя факторами. Во-первых, чем дальше планета находится от Солнца, тем длиннее периметр ее орбиты. Во-вторых, с ростом расстояния от Солнца снижается и линейная скорость движения планеты.
В своих законах Кеплер просто констатировал факты, изучив и обобщив результаты наблюдений. Если бы вы спросили его, чем обусловлена эллиптичность орбит или равенство площадей секторов, он бы вам не ответил. Это просто следовало из проведенного им анализа. Если бы вы спросили его об орбитальном движении планет в других звездных системах, он также не нашел бы, что вам ответить. Ему бы пришлось начинать всё сначала — накапливать данные наблюдений, затем анализировать их и стараться выявить закономерности. То есть у него просто не было бы оснований полагать, что другая планетная система подчиняется тем же законам, что и Солнечная система.
Один из величайших триумфов классической механики Ньютона как раз и заключается в том, что она дает фундаментальное обоснование законам Кеплера и утверждает их универсальность. Оказывается, законы Кеплера можно вывести из законов механики Ньютона, закона всемирного тяготения Ньютона и закона сохранения момента импульса путем строгих математических выкладок. А раз так, мы можем быть уверены, что законы Кеплера в равной мере применимы к любой планетной системе в любой точке Вселенной. Астрономы, ищущие в мировом пространстве новые планетные системы (а открыто их уже довольно много), раз за разом, как само собой разумеющееся, применяют уравнения Кеплера для расчета параметров орбит далеких планет, хотя и не могут наблюдать их непосредственно.
Третий закон Кеплера играл и играет важную роль в современной космологии. Наблюдая за далекими галактиками, астрофизики регистрируют слабые сигналы, испускаемые атомами водорода, обращающимися по очень удаленным от галактического центра орбитам — гораздо дальше, чем обычно находятся звезды. По эффекту Доплера в спектре этого излучения ученые определяют скорости вращения водородной периферии галактического диска, а по ним — и угловые скорости галактик в целом (см. также Темная материя). Меня радует, что труды ученого, твердо поставившего нас на путь правильного понимания устройства нашей Солнечной системы, и сегодня, спустя века после его смерти, играют столь важную роль в изучении строения необъятной Вселенной.
* Между сферами Марса и Земли — додекаэдр (двенадцатигранник); между сферами Земли и Венеры — икосаэдр (двадцатигранник); между сферами Венеры и Меркурия — октаэдр (восьмигранник). Получившаяся конструкция была представлена Кеплером в разрезе на подробном объемном чертеже (см. рисунок) в его первой монографии «Космографическая тайна» (Mysteria Cosmographica, 1596). — Примечание переводчика.
** Исторически сложилось так, что законы Кеплера (подобно началам термодинамики) пронумерованы не по хронологии их открытия, а в порядке их осмысления в научных кругах. Реально же первый закон был открыт в 1605 году (опубликован в 1609 году), второй — в 1602 году (опубликован в 1609 году), третий — в 1618 году (опубликован в 1619 году). — Примечание переводчика.
Астрономия конца XVI века отмечает столкновение двух моделей нашей Солнечной системы: геоцентрическая система Птолемея – где центром вращения всех объектов является Земля, и гелиоцентрическая система Коперника – где Солнце является центральным телом.
Модель Солнечной системы Клавдия Птолемея
И хотя Коперник был ближе к истинной природе Солнечной системы, его работа имела недостатки. Основным из этих недостатков являлось утверждение, что планеты вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам. С учетом этого, модель Коперника практически настолько же не согласовывалась с наблюдениями, как и система Птолемея. Польский астроном стремился исправить данное расхождение при помощи дополнительного движения планеты по кругу, центр которого уже двигался вокруг Солнца — эпицикл. Однако, расхождения в большей своей части не были устранены.
В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, изучая систему Николая Коперника, а также анализируя результаты астрономических наблюдений датчанина Тихо Браге, вывел основные законы относительно движения планет. Они были названы как Три закона Кеплера.
Первый закон Кеплера
Немецкий астроном пытался различными способами сохранить круговую орбиту движения планет, однако это не позволяло исправить расхождение с результатами наблюдений. Потому Кеплер прибегнул к эллиптическим орбитам. У каждой такой орбиты есть два так называемых фокуса. Фокусы – это две заданные точки, такие, что сумма расстояний от этих двух точек до любой точки эллипса является постоянной.
Иоганн Кеплер отметил, что планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца таким образом, что Солнце располагается в одном из двух фокусов эллипса, что и стало первым законом движения планет.
Первый закон Кеплера
Второй закон Кеплера
Проведем радиус-вектор от Солнца, которое располагается в одном из фокусов эллипсоидной орбиты планеты, к самой планете. Тогда за равные промежутки времени данный радиус-вектор описывает равные площади на плоскости, в которой движется планета вокруг Солнца. Данное утверждение является вторым законом.
Второй закон Кеплера
Третий закон Кеплера
Каждая орбита планеты имеет точку, ближайшую к Солнцу, которое называется перигелием. Точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием. Отрезок, соединяющий эти две точки называется большой осью орбиты. Если разделить этот отрезок пополам, то получим большую полуось, которую чаще используют в астрономии.
Основные элементы эллипса
Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:
Отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к большой полуоси орбиты этой планеты является постоянным, и также равняется отношению квадрата периода обращения другой планеты вокруг Солнца к большой полуоси этой планеты.
Также иногда записывают другое отношение:
Одна из записей третьего закона
Дальнейшее развитие
И хотя законы Кеплера имели относительно невысокую погрешность (не более 1%), все же они были получены эмпирическим способом. Теоретическое же обоснование отсутствовало. Данная проблема позже была решена Исааком Ньютоном, который в 1682-м году открыл закон всемирного тяготения. Благодаря этому закону удалось описать подобное поведение планет. Законы Кеплера стали важнейшим этапом в понимании и описании движения планет.
гравитационной силы 
на малом перемещении 
есть:
