Что такое устранимая особая точка

Что такое устранимая особая точка

Точка z₀, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в (в самой точке аналитичность f(z) нарушается).

ПРИМЕР 1. Отыскание особых точек рациональной дроби.

ПРИМЕР 2. Определение типа особых точек.

ПРИМЕР 3. Определение типа особой точки.

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.

Ряд Лорана функции f(z) в случае z₀-полюс имеет вид:
(2)
если z₀ принадлежит области комплексных чисел.

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка z₀ является полюсом порядка n функции f(z), если в разложении (2) , C_k = 0 при k

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Что такое устранимая особая точка

ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Точка аС z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f ( z ), если f ( z ) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце < z :0 z – a | r >, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f ( z ), если f ( z ) регулярна в некоторой окрестности < R z | z= и функция

имеет в точке x = 0 изолированную особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f ( z ) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f ( z ) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

в) существенно особой точкой, если

Заметим, что типы особых точек z = функции f ( z ) и x = 0 функции j(x) совпадают, ибо

f ( a )= f ¢ ( a )=…= f ( m-1 ) ( a ) =0,

f (m) ( a ) 0.

При т =1 точка а называется простым нулем функции f ( z ), при m >1-кратным.

Порядком (или кратностью) полюса функции g ( z ) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции

, где P ( z ) и Q ( z ) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q ( z ) (и только они) являются полюсами функции f ( z ).

Порядок полюса f ( z ) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q ( z ).

Точка z= называется нулем кратности m 1 для функции f ( z ), регулярной в этой точке, если функция

имеет нуль кратности т в точке x =0.

Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f ( z ), то f ( z ) регулярна в некотором кольце < z : 0 z-a | r >и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,

.

Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.

2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f ( z ), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f ( z ) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т ³ 1, если главная часть имеет вид

, где с т 0.

3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f ( z ) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Разложение функции f ( z ) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид

Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z = , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z = .

Источник

Устранимая особая точка

Изолированная особая точка называется устранимой особой точкой функций , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует конечный предел

,

и можно так доопределить функцию в этой точке значением её предела , чтобы получить непрерывную и в этой точке функцию.

Критерии устранимости

См. также

Другие типы изолированных особых точек:

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Устранимая особая точка» в других словарях:

УСТРАНИМАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — однозначной аналитической функции f(z) комплексного переменного z термин для обозначения такой точки а. в проколотой окрестности к рой функция f(z) аналитическая и ограниченная. При этих условиях существует конечный предел Этот предел принимают… … Математическая энциклопедия

ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия

Особая точка — в математике. 1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль: Если при этом не все вторые частные производные… … Большая советская энциклопедия

Комплексный анализ — Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП) раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия … Википедия

Особенность (комплексный анализ) — Для термина «особенность» см. другие значения. Особенность (особая точка) голоморфной функции f точка комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. Для многозначных… … Википедия

Теорема Сохоцкого — График фунции комплексного переменного e1/z. Центрирован относительно существенно особой точки z = 0. Цвет отражает аргумент, а яркость модуль значения функции … Википедия

Непрерывная функция — Эта статья о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение. Непрерывная функция функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения… … Википедия

Источник

Изолированные особые точки, их классификация.

Основные понятия и определения:

Нулем аналитической функции f(z) называется точка “a”, для которой f(a)=0.

Нулем порядка “n” функции f(z) называется точка «а», если но fn(a)¹0.

Особая точка «a» называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой нет особых точек, кроме «a».

1 устранимые особые точки;

3 существенно особые точки.

Тип особой точки может быть определен исходя из поведения данной функции в найденной особой точке, а также из вида ряда Лорана, полученного для функции в окрестности найденной особой точки.

Определение типа особой точки по поведению функции в ней.

1.Устранимые особые точки.

Изолированная особая точка a функции f(z) называется устранимой, если существует конечный предел .

Изолированная особая точка a функции f(z) называется полюсом, если .

3.Существенно особые точки.

Изолированная особая точка a функции f(z) называется существенно особой точкой, если не существует ни конечный, ни бесконечный .

Между нулями и полюсами функции имеет место следующая связь.

Для того, чтобы точка a была полюсом порядка n функции f(Z), необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядка n для функции .

Если n=1 полюс называется простым.

Определение:Изолированная особая точка однозначного характера называется :

а) устранимой, если главная часть разложения отсутствует;

б) полюсом, если главная часть содержит конечное число членов;

в) существенно особой точкой, если главная часть содержит бесконечное число членов.

а) Таким образом, в окрестности устранимой особой точки разложение имеет вид :

, 0

Полюс. Пусть точка z₀ является простым полюсом функции f(z). Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки z₀ имеет вид:

Отсюда

Res f(z0)=

Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.

События делятся на:

Достоверное – это такое событие, которое наступает обязательно в данных условиях (за ночью следует утро).

Случайное – это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти (сдача экзамена).

Невозможное – это такое событие, которое в данных условиях не наступит (достать зеленый карандаш из коробки только с красными).

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник

УСТРАНИМАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА

Этот предел принимают за значение f(z) в точке аи получают аналитич. цию во всей окрестности точки а.
Е. Д. Соломенцев.

Смотреть что такое «УСТРАНИМАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА» в других словарях:

ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия

Особая точка — в математике. 1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль: Если при этом не все вторые частные производные… … Большая советская энциклопедия

Комплексный анализ — Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП) раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия … Википедия

Особенность (комплексный анализ) — Для термина «особенность» см. другие значения. Особенность (особая точка) голоморфной функции f точка комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. Для многозначных… … Википедия

Теорема Сохоцкого — График фунции комплексного переменного e1/z. Центрирован относительно существенно особой точки z = 0. Цвет отражает аргумент, а яркость модуль значения функции … Википедия

Непрерывная функция — Эта статья о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение. Непрерывная функция функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения… … Википедия

Источник