Что такое уравнение тренда

Построение линейного тренда

Наиболее часто тренд представляется линейной зависимостью исследуемой величины вида

где y – исследуемая переменная (например, производительность) или зависимая переменная;
x – число, определяющее позицию (второй, третий и т.д.) года в периоде прогнозирования или независимая переменная.

При линейной аппроксимации связи между двумя параметрами для нахождения эмпирических коэффициентов линейной функции используется наиболее часто метод наименьших квадратов. Суть метода состоит в том, что линейная функция «наилучшего соответствия» проходит через точки графика, соответствующие минимуму суммы квадратов отклонений измеряемого параметра. Такое условие имеет вид:

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).

Рис. 5.3. Построение тренда методом наименьших квадратов

Значения констант b и a или коэффициента при переменной Х и свободного члена уравнения определяются по формуле:

В табл. 5.1 приведен пример вычисления линейного тренда по данным [1].

Таблица 5.1. Вычисление линейного тренда

Методы сглаживания колебаний.

При сильных расхождениях между соседними значениями тренд, полученный методом регрессии, трудно поддается анализу. При прогнозировании, когда ряд содержит данные с большим разбросом колебаний соседних значений, следует их сгладить по определенным правилам, а потом искать смысл в прогнозе. К методу сглаживания колебаний
относят: метод скользящих средних (рассчитывается n-точечное среднее), метод экспоненциального сглаживания. Рассмотрим их.

Метод «скользящих средних» (МСС).

МСС позволяет сгладить ряд значений с тем, чтобы выделить тренд. При использовании этого метода берется среднее (обычно среднеарифметическое) фиксированного числа значений. Например, трехточечное скользящее среднее. Берется первая тройка значений, составленная из данных за январь, февраль и март (10 + 12 + 13), и определяется среднее, равное 35 : 3 = 11,67.

Полученное значение 11,67 ставится в центре диапазона, т.е. по строке февраля. Затем «скользим на один месяц» и берется вторая тройка чисел, начиная с февраля по апрель (12 + 13 + 16), и рассчитывается среднее, равное 41 : 3 = 13,67, и таким приемом обрабатываем данные по всему ряду. Полученные средние представляют новый ряд данных для построения тренда и его аппроксимации. Чем больше берется точек для вычисления скользящей средней, тем сильнее происходит сглаживание колебаний. Пример из МВА построения тренда дан в табл. 5.2 и на рис. 5.4.

Таблица 5.2 Расчет тренда методом трехточечного скользящего среднего

Характер колебаний исходных данных и данных, полученных методом скользящего среднего, иллюстрирован на рис. 5.4. Из сравнения графиков рядов исходных значений (ряд 3) и трехточечных скользящих средних (ряд 4), видно, что колебания удается сгладить. Чем большее число точек будет вовлекаться в диапазон вычисления скользящей средней, тем нагляднее будет вырисовываться тренд (ряд 1). Но процедура укрупнения диапазона приводит к сокращению числа конечных значений и это снижает точность прогноза.

Прогнозы следует делать исходя из оценок линии регрессии, составленной по значениям исходных данных или скользящих средних.

Рис. 5.4. Характер изменения объема продаж по месяцам года:
исходные данные (ряд 3); скользящие средние (ряд 4); экспоненциальное сглаживание (ряд 2); тренд, построенный методом регрессии (ряд 1)

Метод экспоненциального сглаживания.

Альтернативный подход к сокращению разброса значений ряда состоит в использовании метода экспоненциального сглаживания. Метод получил название «экспоненциальное сглаживание» в связи с тем, что каждое значение периодов, уходящих в прошлое, уменьшается на множитель (1 – α).

Каждое сглаженное значение рассчитывается по формуле вида:

где St – текущее сглаженное значение;
Yt – текущее значение временного ряда; St – 1 – предыдущее сглаженное значение; α – сглаживающая константа, 0 ≤ α ≤ 1.

Источник

Оглавление

Средние показатели динамики – средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста- используются при обобщении характеристик тенденции за длительный период, по различным периодам; при сравнении развития за неодинаковые по длительности отрезки времени и при выборе аналитического выражения тренда.

На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста.

Описание нескольких моделей кривых роста, форма которых соответствует характеру изменения динамического ряда, содержит следующий фрагмент учебника «Статистика»:

Типы уравнений тренда

«В настоящее время компьютерные программы анализа временных рядов предлагают достаточно широкий набор математических функций для построения уравнения тренда. Наиболее часто используются полиномы К-й степени, экспоненты, различного рода кривые с насыщением. В общем виде полином К-й степени представляет собой выражение:

При К=1 получаем линейный тренд:

По содержанию линейный тренд означает, что уровни динамического ряда изменяются с одинаковой скоростью.

Параметр а₀ отражает начальный уровень ряда при t=0. Параметр a₁ характеризует средний абсолютный прирост в единицу времени t.

При К=2 получаем параболу второй степени: .

Данная функция рекомендуется для прогнозирования, если ряд характеризуется стабильным абсолютным ускорением, т.е. постоянными являются вторые разности (приросты абсолютных приростов).

Параметр а₀ – начальный уровень тренда при t = 0; а₁– средний абсолютный прирост за рассматриваемый период времени, если t обозначено так, что ; а₂ – половина абсолютного ускорения динамического ряда.

Даже если тренд хорошо описывается параболой второй степени, то для долгосрочного прогноза в экономике он, как правило, затруднителен (особенно если а₂

Рис. 9.7. График параболы третьей степени для уровней динамического ряда (а) и ее приростов (б)

Следовательно, если за ряд лет динамика прибыли характеризуется уравнением вида: , где t = 1,2. то ежегодно прибыль возрастает в среднем на 50% (коэффициент роста 1,5). Данный тренд в виде экспоненты примет выражение:у=е 2,603=0405t , где e= 2,603 =13,5 и e 0,405 =1,5. Рост по экспоненте означает геометрическую прогрессию уровней динамического ряда, что в экономике возможно в сравнительно небольшой период времени (ограничены ресурсы, меняются условия рынка). Поэтому данный вид тренда используется в основном в краткосрочных прогнозах.

Если стабильными оказываются коэффициенты опережения темпов роста, то динамический ряд может быть описан логарифмической параболой:

Свое название данная функция получила потому, что, прологарифмировав ее, получим параболу второй степени: lgy = lga+tlgb+t 2 lgc.

Для этой функции темпы роста изменяются в одно и то же число раз.

Так, если дебиторская задолженность за ряд лет характеризуется уравнением: , то это означает ее ускоренное увеличение с коэффициентом опережения темпов роста, равным 1,052, т.е. 1,1025. Или, иначе, темпы роста ежегодно возрастают в среднем в 1,1025 раза.

При подборе функций уравнений трендов можно использовать и другие их виды, параметры при которых не имеют экономической интерпретации. При этом применяются линеаризуемые функции, т.е. функции, приводимые к линейному виду. Так, при замедленном росте уровней динамического ряда может использоваться полулогарифмическая кривая: y=a+blnt. Она легко преобразовывается в линейную функцию, если заменить lnt на Т: y=a+bT. В 90-e годы по этой функции развивалось потребление в стране картофеля: y=93,1+11,81·lnt.

Среди функций, легко приводимых к линейному виду, можно назвать степенную: y=at b . Прологарифмировав ее, получим линейно-логарифмический тренд: lny=lna+blnt.

Заменив в нем lny на Y, lna на А, lnt на Т, придем к выражению линейного тренда: Y = A + bT

Степенная кривая предполагает разную меру пропорциональности изменений уровней динамического ряда во времени. При b>0 она характеризует непрерывный рост уровней, а при b b означает базисный коэффициент роста. Так, при t =1 y=a1 b =a; при t =2 y =а2 b ; при t = 3y =а3 b ; при t =4 у=а4 b и т.д.

Поэтому степенная функция практически сообщает о величине среднего темпа роста:

В частном случае при b=- 1 уравнение степенного тренда превращается в гиперболу: y=a/t, асимптотами которой служат оси координат, а произведение у на t постоянно (у· t =а). Такого рода функцию можно видеть при изучении тенденций спроса на товары первой необходимости, если для них наблюдается рост цен за рассматриваемый период. В этом случае процент увеличения единицы времени t приводит к такому же уменьшению спроса.

Среди гипербол наибольшее распространение получили тренды следующего вида:

Гиперболические кривые характеризуются наличием асимптоты, выше или ниже которой признак не может принимать значения (верхняя или нижняя асимптоты).

При наличии понижающейся тенденции уровней ряда гипербола для прогноза предпочтительнее, чем, например, линейный тренд y=a-bt, ибо при увеличении значений t в уравнении линейного тренда возможно при прогнозе на дальнюю перспективу получить y 0, то значения уровней динамического ряда снижаются во времени и асимптотически приближаются к параметру a.

Например, отношение валютного курса рубля к паритету покупательной силы за период с мая 1995 г. по апрель 1996 г. характеризовалось уравнением тренда: y=1,396+0,707/t при r 2 =0,989. Оно демонстрирует понижающуюся тенденцию, при которой соотношение курса рубля и паритета покупательной силы не может быть меньше 1,396. Тенденция описывает 98,9% вариации уровней временного ряда, и лишь 1,1% дисперсии уровней ряда связано с действием случайных факторов.

Если b 0 уровни ряда имеют тенденцию к понижению и стремятся к 0 при неограниченном увеличении t, что в прогнозах практически не используется: в краткосрочных и среднесрочных прогнозах число прогнозных точек для t невелико. При b t и нижняя для функции y=c+ab t ).

Модифицированная экспонента применима, когда при прогнозе следует учитывать ограничение роста (или снижения) уровней динамического ряда. Так, при изучении тенденций роста уровня механизации труда в уравнение тренда может быть включена верхняя асимптота, равная 100%, – максимально возможный уровень, к которому стремится у. Если изучается динамика детской смертности, то речь может идти об установлении нижней асимптоты – значения у, ниже которого детская смертность не может быть исходя из достигнутых условий жизни.

Модифицированная экспонента служит базовой кривой для других кривых с насыщением, например, для логистической кривой. Тенденция развития явления при этом охватывает три этапа: вначале довольно медленный рост, который затем убыстряется и сменяется уменьшением роста и приближением уровня ряда к предельному значению, т. е. к уровню насыщения (см. график).

Рис. 9.8. Логистическая кривая

Логистическая кривая имеет следующий вид: , где с – верхняя асимптота; b и а – параметры функции; е – основание натурального логарифма.

Механизм развития производства новых товаров описывается иногда этой кривой. Г.Тинтнер применил данную функцию для описания тенденции роста численности шведского населения за 100 лет по 10-летним интервалам с 1850 по 1950 г.: .

Согласно этой кривой верхняя асимптота тенденции роста численности шведского населения составляла 10328806 человек (справка: в 1999 г. численность населения Швеции составляла 9,2 млн. человек).

Максимальное значение показателя с соответствует на графике отрезку кривой, параллельному оси абсцисс. Минимальное значение функции (y=0) будет при , что, естественно, в прогнозных расчетах отсутствует».

Источник

Аналитическое сглаживание временного

Ряда. Уравнение тренда.

— выбора типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда;

— определения численных значений (оценивание) параметров кривой;

— апостериорного контроля качества выбранного тренда.

В современных ППП все перечисленные этапы реализуются одновременно, как правило, в рамках одной процедуры.

Аналитическое сглаживание с использованием той или иной функции позволяет получить выравненные, или, как их иногда не вполне правомерно называют, теоретические значения уровней динамического ряда, т. е. те уровни, которые наблюдались бы, если бы динамика явления полностью совпадала с кривой. Эта же функция с некоторой корректировкой или без нее, применяется в качестве модели для экстраполяции (прогноза).

Вопрос о выборе типа кривой является основным при выравнивании ряда. При всех прочих равных условиях ошибка в решении этого вопроса оказывается более значимой по своим последствиям (особенно для прогнозирования), чем ошибка, связанная со статистическим оцениванием параметров.

Поскольку форма тренда объективно существует, то при выявлении ее следует исходить из материальной природы изучаемого явления, исследуя внутренние причины его развития, а также внешние условия и факторы на него влияющие. Только после глубокого содержательного анализа можно переходить к использованию специальных приемов, разработанных статистикой.

Весьма распространенным приемом выявления формы тренда является графическое изображение временного ряда. Но при этом велико влияние субъективного фактора, даже при отображении выровненных уровней.

Наиболее надежные методы выбора уравнения тренда основаны на свойствах различных кривых, применяемых при аналитическом выравнивании. Такой подход позволяет увязать тип тренда с теми или иными качественными свойствами развития явления. Нам представляется, что в большинстве случаев практически приемлемым является метод, который основывается на сравнении характеристик изменения приростов исследуемого динамического ряда с соответствующими характеристиками кривых роста. Для выравнивания выбирается та кривая, закон изменения прироста которой наиболее близок к закономерности изменения фактических данных.

В табл. 4 приводится перечень наиболее употребительных при анализе экономических рядов видов кривых и указываются соответствующие «симптомы», по которым можно определить, какой вид кривых подходит для выравнивания.

При выборе формы кривой надо иметь в виду еще одно обстоятельство. Рост сложности кривой в целом ряде случаев может действительно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако в связи с тем, что более сложные кривые содержат большее число параметров и более высокие степени независимой переменной, их доверительные интервалы будут в общем существенно шире, чем у более простых кривых при одном и том же периоде упреждения.

Характер изменения показателей, основанных
на средних приростах для различных видов кривых

Показатель	Характер изменения показателей во времени	Вид кривой
	Примерно одинаковые	Прямая
	Линейно изменяются	Парабола второй степени
	Линейно изменяются	Парабола третьей степени
	Примерно одинаковые	Экспонента
	Линейно изменяются	Логарифмическая парабола
	Линейно изменяются	Модифицированная экспонента
	Линейно изменяются	Кривая Гомперца

В настоящее время, когда использование специальных программ без особых усилий позволяет одновременно строить несколько видов уравнений, широко эксплуатируются формальные статистические критерии для определения лучшего уравнения тренда.

Из сказанного выше, по-видимому, можно сделать вывод о том, что выбор формы кривой для выравнивания представляет собой задачу, которая не решается однозначно, а сводится к получению ряда альтернатив. Окончательный выбор не может лежать в области формального анализа, тем более, если предполагается с помощью выравнивания не только статистически описать закономерность поведения уровня в прошлом, но и экстраполировать найденную закономерность в будущее. Вместе с тем различные статистические приемы обработки данных наблюдения могут принести существенную пользу, по крайней мере, с их помощью можно отвергнуть заведомо непригодные варианты и тем самым существенно ограничить поле выбора.

Рассмотрим наиболее используемые типы уравнений тренда:

1.Линейная форма тренда:

,

где — уровень ряда, полученный в результате выравнивания по прямой;

— начальный уровень тренда;

— средний абсолютный прирост; константа тренда.

Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.

2.Параболическая (полином 2-ой степени) форма тренда:

Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми – третьи разности.

Параболическая форма тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением. Если 0, то квадратическая парабола имеет максимум, если > 0 и 1 данный тренд может отражать тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней ряда. При t_табл для обоих параметров, следовательно они значимы.

Рис. 43. Параметры уравнения регрессии для данных импорта за четвертый период (линейный тренд)

Для оценки статистической значимости уравнения в целом на закладке Advanced воспользуемся кнопкой ANOVA (Goodness Of Fit), позволяющей получить таблицу дисперсионного анализа и значение F-критерия Фишера.

Рис. 44. Таблица дисперсионного анализа

Параметры уравнения тренда в STATISTICA, как и в большинстве других программ, рассчитываются по метод наименьших квадратов (МНК).

Метод позволяет получить значения параметров, при которых обеспечивается минимизация суммы квадратов отклонений фактических уровней от сглаженных, т. е. полученных в результате аналитического выравнивания.

Математический аппарат метода наименьших квадратов описан в большинстве работ по математической статистике, поэтому нет необходимости подробно на нем останавливаться. Напомним только некоторые моменты. Так, для нахождения параметров линейного тренда (2.10) необходимо решить систему уравнений:

Данная система уравнений упрощается, если значения t подобрать таким образом, чтобы их сумма равнялась нулю, т. е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Очевидно, что перенос начала координат имеет смысл только при ручной обработке динамического ряда.

Если , то , .

В общем виде систему уравнений для нахождения параметров полинома можно записать как

При сглаживании временного ряда по экспоненте (которая часто используется в экономических исследованиях) для определения параметров следует применить метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных.

Далее решается система нормальных уравнений:

После переноса начала отсчета времени в середину ряда получают:

Если наблюдаются более сложные изменения уровней временного ряда и выравнивание осуществляется по показательной функции вида , то параметры определяются в результате решения следующей системы уравнений:

В практике исследования социально-экономических явлений исключительно редко встречаются динамические ряды, характеристики которых полностью соответствуют признакам эталонных математических функций. Это обусловлено значительным числом факторов разного характера, влияющих на уровни ряда и тенденцию их изменения.

На практике чаще всего строят целый ряд функций, описывающих тренд, а затем выбирают лучшую на основе того или иного формального критерия.

Далее возвращаемся к текущему анализу и переходим на закладку Residuals/Assumptions/Prediction того же диалогового окна.

Рис. 45. Закладка Residuals/Assumptions/Prediction

Здесь воспользуемся кнопкой Perform Residual Analysis, открывающую модуль анализа остатков. Под остатками (Residuals) в данном случае понимается отклонение исходных значений динамического ряда от прогнозируемых, в соответствии с выбранным уравнением тренда. Сразу же переходим к закладке Advanced.

Рис. 46. Закладка Advanced в Perform Residual Analysis

Воспользуемся кнопкой Summary: Residuals & Predicted, позволяющую получить одноименную таблицу, которая содержит исходные значения динамического ряда Observed Value, прогнозируемые значения по выбранной модели тренда Predicted Value, отклонения прогнозных значений от исходных Residual Value, а также различные специальные показатели и стандартизированные значения. Также в таблице представлены максимальное, минимальное значения, средняя и медиана по каждому столбцу.

Рис. 47. Таблица, содержащая показатели и специальные значения для линейного тренда

В данной таблицы наибольший интерес для нас представляет столбец Residual Value, значения которого в дальнейшем используются для характеристики качества подбора тренда, а также столбец Predicted Value, который содержит прогнозные значения динамического ряда в соответствии с выбранной моделью тренда (в нашем случае – линейной).

Далее построим график исходного временного ряда совместно с вычисленными в соответствии с линейным уравнением тренда прогнозными значениями для четвертого периода. Для этого лучше всего скопировать значения из столбца Predicted Value в таблицу, в которой были созданы переменные для построения трендов.

Итак, мы получили все необходимые результаты расчета параметров тренда, выраженного линейной моделью, для четвертого периода исходного динамического ряда, а также построили график данного ряда, совмещенный с линией тренда. Далее будут представлены остальные модели трендов.

Следует заметить, что в результате линеаризации степенной и экспоненциальной функций STATISTICA возвращает значение линеаризованной функции равное , поэтому для дальнейшего использования их надо преобразовать с помощью следующей элементарной транзакции , в том числе и для построения графических изображений. Для гиперболических функций, а также для обратнологарифмической функции необходимо выполнить преобразование вида .

Для этого также целесообразно создать дополнительные переменные и получить их с помощью формул на основе уже имеющихся переменных.

Далее рассмотрим пример построения таблиц и графиков с использованием линеаризации на примере степенной функции.

Итак, при решении задачи с помощью процедуры Multiple Regression, необходимо в качестве переменных выбрать натуральные логарифмы исходного ряда и оси времени.

Далее проходит тот же путь, что и при построении линейной модели и получаем три таблицы.

Рис. 49. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (степенная модель)

Рис. 50. Параметры уравнения регрессии для данных импорта за третий период (степенная модель)

Рис. 51. Таблица дисперсионного анализа

Рис. 52. Таблица, содержащая показатели и специальные значения для степенной модели

Затем, как и в случае с линейным трендом, копируем значения из столбца Predicted Value в таблицу, но там для этого строим еще одну переменную, в которой получаем прогнозные значения по степенной функции с помощью преобразования .

Рис. 53. Создание дополнительной переменной

Рис. 54. Таблица со всеми переменными

Рис.56. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (экспоненциальная модель)

Рис.58. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (обратная модель)

Рис. 60. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (полином второй степени)

Рис. 62. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (полином 3-й степени)

Рис. 64. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (гипербола 1-ого вида)

Рис. 66. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (гипербола 3 типа)

Рис. 67. Третий период динамического ряда импорт и гипербола 3 типа

Рис. 68. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (логарифмическая модель)

Рис. 70. Основные показатели уравнения для данных импорта за третий период (обратнологарифмическая модель)

Затем построим таблицу со вспомогательными переменными для построения трендов для экспорта.

Рис. 72. Таблица со вспомогательными переменными

Проделаем те же операции что и для четвертого период импорта.

Рис. 73. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (линейная модель)

Рис. 75. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (степенная модель тренда)

Рис. 76. Третий период динамического ряда экспорта и степенная модель

Рис. 77. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (экспоненциальная модель тренда)

Рис. 79. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (обратная модель тренда)

Рис. 81. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (полином второй степени)

Рис. 83. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (полином третей степени)

Рис. 85. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (гипербола 1-ого вида)

Рис. 86. Третий период динамического ряда экспорта и гипербола 1-ого типа

Рис. 87. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (гипербола 3-ого вида)

Рис. 89. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (логарифмическая модель)

Рис. 91. Основные показатели уравнения для данных экспорта за третий период (обратнологарифмическая модель)

Выбор наилучшего тренда

Как уже отмечалось, проблема выбора формы кривой — одна из основных проблем, с которой сталкиваются при выравнивании ряда динамики. Решение этой проблемы во многом определяет результаты экстраполяции тренда. В большинстве специализированных программ для выбора лучшего уравнения тренда предоставляется возможность воспользоваться следующими критериями:

— минимальное значение среднеквадратической ошибки тренда:

,

где — фактические уровни ряда динамики;

— уровни ряда, определенные по уравнению тренда;

—минимальное значение остаточной дисперсии:

— минимальное значение средней ошибки аппроксимации;

— минимальное значение средней абсолютной ошибки;

— максимальное значение коэффициента детерминации;

— максимальное значение F- критерия Фишера:

: ,

Применение формального критерия для выбора формы кривой, по-видимому, даст практически пригодные результаты в том случае, если отбор будет проходить в два этапа. На первом этапе отбираются зависимости, пригодные с позиции содержательного подхода к задаче, в результате чего происходит ограничение круга потенциально приемлемых функций. На втором этапе для этих функций подсчитываются значения критерия и выбирается та из кривых, которой соответствует минимальное его значение.

В данном пособии для идентификации тренда используется формальный метод, который основывается на использовании численного критерия. В качестве такого критерия рассматривается максимальный коэффициент детерминации:

.

Расшифровка обозначений и формулы данных показателей даны в предыдущих разделах. Коэффициент детерминации показывает, какая доля общей дисперсии результативного признака обусловлена вариацией признака – фактора. В таблицах STATISTICA он обозначается как R?.

В следующей ниже таблице будут представлены уравнения моделей трендов и коэффициенты детерминации данных импорта.

Уравнения моделей трендов и коэффициенты детерминации Import.

№	Модель	Уравнение
Линейная		60,07
Мультипликативная (степенная)		46,14
Экспоненциальная		60,50
Полином 2-ой степени		76,32
Полином 3-ей степени		86,13
Гипербола 1 типа		27,6
Обратная (гипербола 2 типа)		59,44
Гипербола 3 типа		35,69
Логарифмическая		43,36
Обратнологарифмическая		48,01

Составим такую же таблицу для данных по экспорту.

Уравнения моделей трендов и коэффициенты детерминации Export.

№	Модель	Уравнение
Линейная		51.30
Мультипликативная (степенная)		32.25
Экспоненциальная		51.01
Полином 2-ой степени		75.83
Полином 3-ей степени		83.08
Гипербола 1 типа		16.15
Обратная (гипербола 2 типа)		50.36
Гипербола 3 типа		17.40
Логарифмическая		31.91
Обратнологарифмическая		32.37

Сопоставив значения коэффициентов детерминации для различных типов кривых можно сделать вывод о том, что для исследуемого третьего периода лучшей формой тренда будет полином третей степени для импорта и для экспорта.

Далее необходимо проанализировать выбранную модель тренда с точки зрения ее адекватности реальным тенденциям исследуемого временного ряда через оценку надежности полученных уравнений трендов по F-критерию Фишера. В данном случае расчетное значение критерия Фишера для импорта равно 16,573; для экспорта – 13,098, а табличное значение при уровне значимости равно 3,07. Следовательно, эта модель тренда признается адекватно отражающей реальную тенденцию изучаемого явления.

Важнейшим элементом оценки качества выбранной модели является анализ автокорреляции в остатках, т.е. в отклонениях исходных значений динамического ряда от рассчитанных по уравнению тренда. Если аппроксимация удовлетворительная, то случайные составляющие – отклонения от тренда

Источник