Что такое уравнение неравенства выражения
ТЕМА 6. ВЫРАЖЕНИЕ. УРАВНЕНИЕ. НЕРАВЕНСТВО
1. Выражения и их тождественные преобразования.
2. Числовые равенства и неравенства.
3. Уравнения с одной переменной.
4. Неравенства с одной переменной.
Основная литература [1, 2, 3, 7, 10, 11, 16, 17, 19, 22, 23, 33, 34, 37, 38];
Дополнительная литература [12, 28]
1. Выражения и их тождественные преобразования
Изучение данных понятий связано с использованием математического языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются, и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он буде представлен частично, в связи с необходимостью больше внимания уделить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:
1) цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;
4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обо значения чисел;
5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.
Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла.
Рассмотрим запись 2а + 3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:
если а = 7, то 2×7 + 3;
если а = 0, то 2×0 + 3;
Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например . Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2× + 3.
Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.
В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных.
Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6): (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо.
Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим.
Определение.Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.
Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значениях х их значения равны.
Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождествомна этом множестве.
Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.
В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др.
Например, чтобы найти произведение 35 × 4, надо выполнить преобразования: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. В основе выполненных преобразований лежат: свойство дистрибутивности умножения относительно сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35 = 30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел.
Выражения, неравенства, уравнения, тождества
Значение выражения
Значение выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий. Например, у выражения ( 5 + 7 ) : 2 значение 6.
Значение алгебраического выражения
Значение алгебраического выражения — это значение выражения, в котором на место переменных поставили их численные значения. Например, у выражения
(5a + 7b) : 2 при a = 9 и b = 3
Корень уравнения
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, у уравнения
Что значит решить уравнение
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Свойство уравнений: сложение и вычитание
Если к обеим частям уравнения ПРИБАВИТЬ или из обеих частей ВЫЧЕСТЬ одно и то же число, то получим равносильное уравнение. Например, равносильны следующие четыре уравнения
Следствие: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком — так в последних двух уравнениях слагаемое 11 перешло направо.
Свойство уравнений: умножение и деление
Если обе части уравнения умножать или разделить на одно и то же число (не равное 0), то получим равносильное уравнение. Например, равносильны следующие два уравнения:
Следствие: числа или выражения можно переносить из одной части уравнения в другую из знаменателя в числитель (и наоборот).
x /5 = 12
x = 5 × 12 = 60
Строгие и нестрогие неравенства
Математическое пособие «Уравнения и неравенства»
Уравнения и неравенства
Пособие по данной теме, является наглядным, позволяет систематизировать знания учащихся. Все темы подробно разобраны (поэтапно). Материал служит как в качестве изучения темы с «нуля», так и в качестве вспомогательного материала. Включает в себя разобранные примеры, задания для самостоятельной работы (закрепления знаний).
Уравнения и неравенства– важнейшие понятия математики.
В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину непосредственно нельзя измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение, которым она удовлетворяет. Так получают уравнения и неравенства для определения неизвестных величины, которые каждый должен уметь решать.
Решение уравнений и неравенств
Уравнение – это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными.
Значения переменных, которые обращают уравнение в верное числовое равенство, называются корнями или решениями уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Обычный путь решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям.
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же выражение, которое не обращается в нуль ни при каких значениях переменных, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример: 1) х +8( х –2)=2 х –3 – линейное уравнение;
2) х 3 – х 2 +3 х –4=–3 х +5 – не является линейным.
Стандартный вид линейного уравнения с одной переменной:
Для решения уравнения переносим слагаемое, не содержащее переменную вправо и делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном:
.
Для решения любого линейного уравнения нужно привести его к стандартному виду.
Пример: Решить уравнение:
Приведем уравнение к виду (*), для чего раскроем скобки и перенесем все члены уравнения влево
Приведем подобные члены
– 3 х =4 
.
Ответ: .
Приведем уравнение к стандартному виду (*)
Перенесем слагаемое, не содержащее переменную вправо и поделим обе части уравнения на коэффициент при х на (–11)
х =1.
приведем все дроби к общему знаменателю
Это уравнение не является линейным, но его можно свести к решению нескольких линейных уравнений. Разложим левую часть уравнения на множители, для чего сгруппируем 1-е и 2-е слагаемые и 3-е и 4-е слагаемые.
вынесем х из первого слагаемого и (–2) из второго
вынесем ( х 2 –1) за скобки
разложим первый сомножитель на множители, используя формулу разности квадратов
Произведение равно нулю, когда хотя бы одно из сомножителей равно нулю:
Таким образом, решение уравнения свелось к решению трех линейных уравнений, находим корень каждого из этих уравнений:
Рассмотрим пример решения уравнения с параметром (то есть уравнения, где коэффициенты при неизвестном могут принимать различные числовые значения и выражены буквами).
Здесь х – неизвестное, а – параметр.
Перенесем слагаемые, содержащие переменные влево, а слагаемые, не содержащие переменную, вправо
Следующий шаг при решении линейного уравнения: разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, но в нашем случае этот коэффициент зависит от параметра а, и может быть равен нулю, в такой ситуации делить на этот коэффициент нельзя, поэтому рассмотрим случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю отдельно.
а) Если а –2=0, то есть а =2, то уравнение принимает вид
и ни при каком значении х мы не получим верного равенства, следовательно в этом случае уравнение решений не имеет
б) Если а –2 0, то есть а 2, то поделим обе части уравнения на (а–2), получим
Таким образом мы получили:
Ответ: при а =2 решений нет;
при а 2 
.
Решить уравнение с параметром:
.
Так как в знаменателе дроби может стоять только выражение отличное от нуля, то
Уравнение имеет смысл, если а 2 и а 0. Решим уравнение при этих условиях. Приведем дроби к общему знаменателю
дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель от нуля отличен
а) Если 3+ а =0, то есть а =–3, получим
и ни при каком х верного числового равенства мы не получим.
б) Если 3+ а 0, то есть а –3, то
.
Ответ: при 
уравнение решений не имеет;
при 
.
2. Квадратные уравнения
Квадратным уравнением называют уравнение вида
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется приведенным.
Пример: 3 х 2 –4 х +7=0 
.
Для нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bx + с =0 пользуются формулами:
D называется дискриминантом квадратного уравнения, от его знака зависит число корней квадратного уравнения. Если:
D =0, 
– уравнение имеет один корень;
D >0, уравнение имеет два корня.
Пример: Решить уравнение.
В данном случае а =4, b =–7, с =3.
D = b 2 –4 ac =49–4 4 3=49–48=1>0 уравнение имеет два корня.
.
Ответ: 
.
Корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q =0 можно находить, используя теорему Виета :
.
Найдем дискриминант квадратного уравнения
уравнение имеет два корня, найдем их по формулам:
.
Найдем корни квадратного уравнения, используя теорему Виета:
делителями числа 5 являются 1; 5, но только (–1) и (–5) в сумме дают (–6), поэтому х 1 =–5; х 2 =–1. Получили те же корни уравнения.
.
Приведем уравнение к стандартному виду, для чего перенесем все дроби с противоположным знаком влево, и приведем их к общему знаменателю
.
.
Ответ: 
.
Рассмотрим примеры решения уравнений, которые квадратными не являются, но которые могут быть сведены к решению квадратных уравнений.
Перенесем все члены уравнения влево
слагаемые имеют одинаковые сомножители, вынесем одинаковые множители за скобку
Левая часть уравнения – есть произведение двух сомножителей, правая – нуль. Произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению двух уравнений: линейного и квадратного:
х =2 
.
Ответ: 
.
.
Выражение, содержащее дробь имеет смысл, если знаменатель дроби отличен от нуля, поэтому 2 х –5 0 
, х 0.
Приведем дроби к общему знаменателю
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, знаменатель от нуля отличен. Мы уже выяснили условия, при которых знаменатель отличен от нуля, поэтому приравняем к нулю числитель дроби и решим квадратное уравнение.
(2 х ) 2 –2 2 5 х +(5) 2 =0
(2 х –5) 2 =0 
но при знаменатель дроби обращается в нуль, поэтому это значение переменной решением уравнения не является.
.
Найдем значения переменной, которые обращают в нуль знаменатель дроби, для чего решим уравнение
Разложим многочлен, стоящий слева на множители.
таким образом, имеем уравнение:
Произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, поэтому уравнение сводится к решению двух уравнений:
уравнение корней не имеет
таким образом, знаменатель дроби отличен от нуля при условии u 1.
Переходим к решению первоначального уравнения. Приравняем числитель дроби к нулю и решим квадратное уравнение.
решим приведенное уравнение, используя теорему Виета:
так как при u =1 знаменатель дроби обращается в нуль, решением уравнения будет только u =–2.
Линейные неравенства с одной переменной
Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше, чем периметр квадрата со стороной 4 см?
Решение задачи свелось к решению неравенства, содержащего переменную. К решению неравенств приводят и многие другие задачи.
Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все его решения (или доказать, что их нет).
Решение неравенства не изменяется, если перенести какое-нибудь слагаемое в другую часть, изменив его знак на противоположный.
Решение неравенства не изменится, если умножить обе части этого неравенства на одно и то же положительное число; при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число надо поменять знак неравенства на противоположный.
Используя это утверждение, решим полученное в задаче неравенство.
Ответ: длина стороны прямоугольника должна быть больше 2.
Рассмотрим примеры решения други х неравенств.
.
Ответ: 
Ответ: 
.
Решение: Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда дискриминант уравнения больше нуля. Вычислим дискриминант уравнения и потребуем, чтобы он был больше нуля.
решим полученное неравенство
таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня при .
Например: 
Например: 
Чтобы найти решение системы неравенств нужно найти общую часть промежутков, которые являются решениями неравенств системы.
Н
анесем полученные решения на числовую ось и выберем пересечение всех трех промежутков.
Общей частью всех трех промежутков является промежуток 
.
Ответ: .
Решением первого неравенства является вся числовая ось, поэтому
Ответ: 
.
Задания для самостоятельного решения
Решить системы неравенств:
2. 
3. 
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Таблица числовых промежутков
