что такое равновеликие треугольники
Равные многоугольники
По определению равные фигуры должны быть во всём одинаковыми, включая площадь, длину сторон, размер углов и другие параметры. Чтобы рассмотреть всё из них, уйдёт много времени, да это и не нужно, ведь они взаимозависимы. Хорошим примером будет самый простой многоугольник — треугольник. Существует несколько правил, по которым можно определить, равны ли 2 треугольника между собой или нет:
Нельзя путать первое условие с тремя углами. Ведь если в треугольнике равны 3 угла, они необязательно будут равными, но будут подобными.
Названия условий достаточно точно описывают критерии, по которым можно определить одинаковые 2 треугольника или нет. Из них следует, что необязательно знать все параметры: часто хватает только нескольких из них для определения «равности».
В большинстве случаев определить одинаковость других фигур гораздо сложнее, нежели треугольников. К счастью, чаще всего в школьной геометрии такой класс задач не рассматривают или даются дополнительные данные, помогающие с решением.
Например, доказательство «равности» для четырёхугольника сложнее, да и почти не встречается. Но если по условию сказано, что четырёхугольник не произвольный, а имеет прямые углы, задача становится проще. В таком случае рассматривается прямоугольник. А для него достаточно, чтобы 2 не противолежащие стороны были равны.
Если указано ещё и условие, что прямоугольник является квадратом, достаточно указать, что у двух таких фигур совпадает по длине одна сторона и уже этого будет достаточно.
Равность правильных фигур
Частным и самым простым для сравнения является случай, когда многоугольник по условию правильный. Так называется фигура с одинаковыми сторонами и углами. Например, равносторонний треугольник и квадрат. Важно не забывать проверить равны ли углы, так как не каждая фигура правильная. Тот же ромб по определению имеет 4 совпадающие по длине стороны, но разные углы. При сравнении правильных многоугольников достаточно указать, что, хотя бы одна сторона фигуры равна стороне у другой. Это будет достаточное условие для доказательства «равности».
Самым простым и наглядным способом сверки двух фигур будет не геометрический с помощью правил, а путём наложения рисунков друг на друга. Разумеется, что он не претендует на точность, но изобразить параллелограмм и наложить его на другой нагляднее, чем сравнивать, например, углы. Понятно, что так можно только ознакомиться с концепцией «равности» и показать, какие фигуры называются равными, для упрощения в дальнейшем решения задач, но доказывать что-либо нельзя, ввиду неточности метода.
Если при сравнении двух тел оказывается, что их площади равны, такие тела (многоугольники) являются равновеликими. Как и в случае с прошлым, это определение звучит несложно. Проблемы могут начаться непосредственно при вычислении площадей. Самый простой многоугольник — треугольник. Для вычисления его площади существует множество способов.
Вычисление площади треугольника
Чаще всего приходится работать с прямоугольными треугольниками. Их площадь вычислить несложно — это полупроизведение катетов (сторон, между которыми лежит прямой угол). Таким образом, даже если стороны двух фигур по длине разные, но их произведение равно, они равновеликие. Например, треугольник с катетами 4 и 4 равен по площади многоугольнику с катетами 16 и 1. Так как их полупроизведение, а значит и площадь равна 8.
Если же треугольник произвольный (то есть не является частным случаем — прямоугольным, равнобедренным или равносторонним), можно воспользоваться одной из 5 формул, позволяющих вычислить его площадь.
То, какую формулу использовать, будет зависеть от данных, предоставленных в задаче. Иногда придётся проводить дополнительное построение, например, провести высоту или использовать свойства, что биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности. Если не даны все 3 стороны, использовать третью формулу не получится.
Важно понять, что фигуры могут быть разными по количеству углов, но всё равно считаться равновеликими — в учёт идёт только площадь, остальные параметры не важны. Например, прямоугольный треугольник с катетами 2 и 4 будет визуально казаться больше, чем квадрат со стороной 2, но их площади совпадают и равны 4 (площадь прямоугольника считается как произведение прилежащих сторон друг на друга). По определению это делает их равновеликими.
Визуальный способ
Существует также наглядный, но неточный способ. Нужно взять листок в клеточку и нарисовать на нём многоугольники. Если рисунок получился большой — не страшно, так будет только проще в дальнейшем. Следующий шаг — посчитать количество клеток, которое заняла каждая фигура и сравнить. Если оно равно, равновеликость доказана. Опять же метод не точный, но для введения в концепцию площадей и их «равности» подойдёт.
Иногда встречается словосочетание «равносоставленная фигура». Такими называют произвольные многоугольники, которые можно составить друг из друга путём разрезания одного из них на одинаковые объекты и перекладывания. Например, если прямоугольник 4 на 1 нарезать на одинаковые части — квадраты 1 на 1, то из полученных маленьких квадратов можно составить один большой со стороной 2. Но это не более чем забавное свойство некоторых фигур и в геометрии фактически почти не используется.
Равновеликие фигуры
Равновеликие фигуры — это фигуры, которые имеют одинаковые площади.
Равновеликие тела — это тела, которые имеют равные объёмы (равновеликие тела часто также называют равновеликими фигурами). Равные фигуры — это фигуры, которые совпадают при наложении (у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны).
Равные фигуры имеют равные площади, поэтому равные фигуры являются также равновеликими. Обратное, вообще говоря, неверно.
1) Прямоугольник и квадрат, изображенные на рисунке 1, — равновеликие фигуры.
То есть, прямоугольник со сторонами a и b и квадрат со стороной c являются равновеликими, если
2) Треугольник и квадрат, изображенные на рисунке 2 — равновеликие фигуры, так как имеют равные площади.
Площадь квадрата S=3²=9.
Треугольник со стороной a и проведенной к ней высоте ha и квадрат со стороной c являются равновеликими, если
3) Треугольник и трапеция, изображенные на рисунке 3 — равновеликие, поскольку их площади равны.
Треугольник со стороной c и проведенной к ней высотой hс и трапеция с основаниями a и b и высотой h являются равновеликими, если
math4school.ru
Треугольники
Основные свойства
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).
Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°:
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:
Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:
Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:
Равенство треугольников
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:
У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.
Первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:
Второй признак равенства треугольников.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:
Подобие треугольников
Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:
Два треугольника подобны, если:
У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:
Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:
Медианы треугольника
Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:
Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:
Биссектрисы треугольника
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
Длина биссектрисы угла А :
Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.
Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
BL – биссектриса угла В ;
ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :
Высоты треугольника
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
Длина высоты, проведённой к стороне а :
Серединные перпендикуляры
Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.
Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.
Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:
Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:
Окружность, описанная около треугольника
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Радиус описанной окружности:
Расположение центра описанной окружности
Равнобедренный треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.
Основные формулы для равнобедренного треугольника:
Равносторонний треугольник
Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Все углы равностороннего треугольника равны:
Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:
Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника
Прямоугольный треугольник
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.
Прямоугольные треугольники равны если у них равны:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:
Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:
Площадь прямоугольного треугольника можно определить
через катеты: 
через катет и острый угол: 
через гипотенузу и острый угол: 
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
Вневписанные окружности
Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.
Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.
Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.
для r – 
для R – 
для S – 
Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:
Теорема тангенсов (формула Региомонтана):