что такое радианы и градусы

Что такое радиан? И почему в круге 360 градусов?

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Сегодня поговорим об измерении углов. Почему в круге 360 градусов? Что такое 1 радиан? И как связаны градусы и радианы?

Начнем с градусов. Что за странное число 360? Мы привыкли, что в рубле 100 копеек, в метре 100 сантиметров, в килограмме 1000 граммов. У нас десятеричная система исчисления, потому что на руках у нас по 10 пальцев. Но откуда в нашем языке такие странные слова как дюжина, то есть 12? Почему у нас в часе 60 минут, а не 100? И в минуте 60 секунд. Также и этот круг 360 градусов, а не 1000. Дюжина – это 12. 60 делится на 12. Может быть у наших предков было по 12 пальцев на обеих руках? Конечно, нет.

Оказывается, пользуясь пальцами одной руки, можно отсчитать не 5, а 12. Вот как это делали самые разные народы: они считали фаланги пальцев. Их всего 12.

Но чем же число 12 лучше 10? Может быть тем, что у числа 12больше делителей? Посмотрите, на экране делители числа 10 и делители числа 12. А у числа 360 делителей еще больше, целых 24. Если в круге 360 градусов, его легко поделить на множество частей. И это не все.

В день равноденствия солнце встает почти точно на востоке и заходит почти точно на западе, и проходит за день по небу путь в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов. Угловой диаметр солнца примерно 32 угловых минуты, чуть больше, чем полградуса. Он немного меняется в течении года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая. Утверждение о том, что в день равноденствия солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам», то есть 360 видимым диаметрам солнца, верно с некоторой точностью.

– Замечательно! – сказали древние шумеры. – На небе есть подтверждения нашим вычислениям! А вот еще яркая звезда Юпитер!

Оказывается, Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Конечно, не 12, а 11,86 земных лет, но очень уж хотелось астрономам округлить до своего любимого числа.

Посмотрим на луну. Ее каждый найдет на небе, когда она полная, в отличии от Юпитера. Лунный месяц примерно 29,5 земных суток. А если у нас в году будет 12 месяце, а год – 365 дней (точнее, конечно, 365,242 земных суток). Что-то близкое к числу 360. Астрономы подумали: «Наверное, Боги хотели, чтобы у нас в году было 360 дней и 12 месяцев по 30 дней, но где-то, вероятно, они ошиблись в расчетах, или кто-то им помешал. Но нам никто не помешает, и мы будем делить круг на 360 градусов».

Обозначается это вот так: 360 и вверху значок градуса.

А что же такое радианы? Что такое угол в 1 радиан? С радианами все намного проще.

1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 радиан приблизительно равен 57 градусам (изображение на экране, 5:20 мин).

А как перевести градусы в радианы? Мы сказали, что 1 круг – это 360 градусов. Но чему же равна длина всей окружности с радиусом r? Вспоминаем формулу (5:44). У нас появляется число Пи. Число Пи известно людям с глубокой древности, потому что люди, видя на небе круглое солнце и луну, хотели сделать что-нибудь похожее. Они плели круглые корзины, делала круглые тарелки. И заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же. Это число немного больше, чем 3, точнее, 3,1415926. Проходили столетия, и число Пи вычисляли со все большей и большей точностью. Отношение длины окружности к ее диаметру – это число Пи.

Полный круг – 360 градусов. Длина окружности – 2Пиr (6:50).

Наш угол в 1 радиан опирается на дугу окружности равную r. Мы получаем, что угол в один радиан соответствует дуге окружности равной r, радиусу окружности. 360 градусов, полный круг, соответствует всей длине окружности, то есть 2Пиr. Во сколько же раз полный круг больше, чем 1 радиан? Очевидно, в 2Пи раз. 360 градусов соответствует 2Пи радианам. 180 градусов – Пи радиан, 90 градусов – это Пи/2 радиан.

Теперь вы знаете, что же такое написано на Тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов.

Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях. Присылайте новые интересные вопросы и задачи!

Источник

Радианы и градусы онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести радианы в градусы и наоборот. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Радианы и градусы − теория, примеры и решения

Определение 1. 1 радиан − это величина центрального угла окружности радиуса R, которая опирается на дугу длины R.

Определение 2. 1 радиан − это угловая величина дуги, длина которой равна радиусу.

Из геометрии известно, что угловая величина не зависит от радиуса окружности. Поэтому мы будем рассматривать окружности радиусом R=1. При R=1 формула, определяющая длину окружности имеет вид

Поскольку длина окружности (при R=1) равна 2π, то совершив один полный оборот мы получим угол в 2π радиан. Но этот угол равен 360°. Тогда имеем

Из уравнения (1) следует:

Mы получили формулы, определяющие всязь между градусом и радианом. Запись «радиан» обычно опускают, но подразумевают. Например можно записать:

В тригонометрии угловая величина может быть любым, даже отрицательным.

Пусть задана прямоугольная система координат xOy. Рассмотрим окружность радиусом 1 с центром в начале координат и пусть заданы векторы (Рис.2.).

Поворот вектора против часовой стрелки назовем положительным направлением, а по часовой стрелке − отрицательным. На рисунке Рис.2 вектор получится поворотом вектора в положительном направлении на 90° Это эквивалентно радианам. Вектор получен поворотом вектора в положительном направлении на 135°, что эквивалентно радианам.

Можно продолжить поворот и получить углы больше 180°. На Рис.2 вектор получен поворотом вектора в положительном направлении на 315° или на радиан. Еще раз напомним что − это длина дуги, которая рисует конец вектора продвигаясь до точки D.

Рассмотрим, теперь поворот вектора в отрицательном направлении, т.е. в направлении по часовой стрелке (Рис.4).

Вектор получен поворотом вектора по отрицательному направлению на −45° или на радиан. Вектор получен поворотом вектора по отрицательному направлению на −135° или на радиан и т.д.

Наконец можем отметить, что для любого действительного числа α существует единственный угол, радианная мера которого равна α радиан и этот угол отложен от начального вектора в положительном направлении, при α≥0 и в отрицательном направлении, при α≤0. При α=0, этот угол равен нулю.

Таким образом, для любого угла его меру α (радиан) можно записать в виде

где k-некоторое целое число, а (радиан) удовлетворяет следующему неравенству.

Пример 1. Радианная мера угла равна 51. Найти градусную меру этого угла.

Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 42.085° в положительном направлении и поворотом еще на 8 полных оборотов в положительном направлении.

Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 123.211° в отрицательном направлении и поворотом еще на 3 полных оборотов в отрицательном направлении.

Пример 3. Градусная мера угла равна 457°. Найти радианную меру этого угла.

Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 1.653 радиан в положительном направлении и поворотом еще на 1 полный оборот () в положительном направлении.

Источник

Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Связь между градусами и радианами

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

Также можно выразить один градус в радианах.

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.

Формула перевода из градусов в радианы

y ° = y · π 180 р а д

Переведем 47 градусов в радианы.

Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

Источник

Почему мы переводим градусы в радианы?

Радианы позволяют связать линейную меру и угловую меру. … Длина дуги, образуемой центральным углом, становится радианной мерой. угла. Это сохраняет все важные числа, такие как синус и косинус центрального угла, в одном масштабе.

Кроме того, должен ли калькулятор быть в радианах или градусах?

Почти все калькуляторы поставляются с режимами DEG и RAD. Вы должны использовать режим, который соответствует данным в вопросе. Например: если нам нужно найти cos (v) и v = 60 °, то используйте режим градусов, потому что данный угол выражен в градусах. Если заданный угол выражен в радианах, используйте режим RAD.

По какой формуле переводятся градусы в радианы?

Почему радианы пи равны 180 градусам?

Сат в радианах или градусах?

Определение радианной меры.

Измеряется триггер в радианах или градусах?

Несмотря на то, что вы можете использовать оба, часто люди будут настаивать на использовании радиан для тригонометрических функций. И часто радианы принимаются по умолчанию. Если вы, например, погуглите «sin (90)», вы получите 0.893… потому что Google предполагает, что это 90 радиан, а не 90 градусов.

В чем разница между радианами и градусами?

Градусы определяют угол наклона головы. Радианы измеряют углы на пройденный путь.

Сколько радианов в 315?

Что такое 315 градусов в радианах? 315 ° = 5.4977871438 рад.

Сколько радианов в 300 градусах в Пи?

5π / 3 радиан, после уменьшения дроби до наименьших значений.

Как упростить радианы?

Как изменить радианы на градусы

Кто изобрел радианы?

Концепцию радианной меры, в отличие от градуса угла, вероятно, следует приписать Роджер Коутс в 1714 году. У него был радиан во всем, кроме имени, и он признал его естественность в качестве единицы угловой меры (веб-источник [5]).

Для чего используются радианы?

Пи равно 90 градусам?

Мы можем просто написать 2 пи, и это означает, что это 2 пи радиана. … Угол 180 градусов такой же, как угол пи-радиан. Разделите это снова, прямой угол, который мы называем 90 градусами, теперь мы можем назвать это углом пи / 2. Это мера прямого угла в радианах, пи / 2.

Пи равно 180 градусам?

Один градус в радианах, всегда помните, что 180 градусов равно пи. 180 градусов равны пи радианам, поэтому, чтобы получить один градус, разделите обе стороны на 180.

Почему полный круг равен 2 пи?

Trig находится в режиме SAT?

Расчет на SAT?

Там есть нет тригонометрия, радианы, использование квадратной формулы, матриц или любой другой продвинутый математический материал, включая исчисление или предварительное исчисление, на SAT.

Вам нужно запомнить единичный круг для SAT?

Знайте концепции; не просто запоминать.

Запоминание единичного круга может помочь вам очень быстро решить проблему, как в первом примере, где его запоминание означало, что вам не нужно делать никаких вычислений.

Вы используете радианы или градусы в физике?

Вы должны использовать радианы когда вы смотрите на объекты, движущиеся по круговой траектории или части круговой траектории. В частности, уравнения вращательного движения почти всегда выражаются в радианах. Первоначальные параметры задачи могут быть в градусах, но вы должны преобразовать эти углы в радианы перед их использованием.

Каковы 6 триггерных функций 45 градусов?

Чему равен Arcsin?

Функция arcsin:

обратная функция синуса

. Он возвращает угол, синус которого является заданным числом.

Что такое 270 градусов в радианах в единицах Пи?

Следовательно, 270 градусов можно записать как 3π2 радиан.

Как перевести градусы в радианы?

Умножьте количество градусов на π / 180..

Следовательно, 1 градус эквивалентен (π / 180) радианам. Поскольку вы это знаете, все, что вам нужно сделать, это умножить количество градусов, с которыми вы работаете, на π / 180, чтобы преобразовать его в радианы.

Источник

Измерение углов: градусы и радианы

Для измерения углов принято использовать две основные единицы: градусы и радианы.

Начнем с привычных градусов.

Полный круг составляет 360 градусов – это мы все знаем.

А вот в часе 60 минут, в круге 360 градусов. И в сутках 24 часа. Древние шумеры умудрились придумать двенадцатеричную систему счисления! И при этом они тоже считали по пальцам. Нет, у них не было по 6 пальцев на каждой руке. Просто считали не пальцы, а фаланги четырех пальцев (кроме большого).

Кстати, круг легко делится именно на 6 частей (умеете?). А число 12 (дюжина) делится на 2, 3, 4, 6 и, собственно, 12.

И это не все. Древние шумерские астрономы обнаружили, что в день равноденствия Солнце встает почти точно на Востоке и заходит почти точно на Западе, причем от восхода до заката проходит по небу путь, в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр Солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов.

Точнее, угловой диаметр Солнца равен примерно 32 угловых минуты, то есть чуть больше 0,5 градуса. Он еще и немного меняется в течение года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая.

Так что утверждение о том, что в День равноденствия Солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам» (то есть 360 видимым диаметрам солнца) – верно с некоторой точностью.
Конечно, древние астрономы наблюдали не только за движением Солнца. Они заметили, что яркая планета Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Точнее, не 12, а 11,86 лет, но уж очень им хотелось округлить до своего любимого числа.

Да что там Юпитер! Посмотрим на Луну. Юпитер на небе еще и не каждый найдет (а вы сможете?) – зато Луну, особенно полную, трудно не заметить! Месяц – промежуток от полнолуния до полнолуния – равен примерно 29,5 суток. Почти 30, верно?

Наша Земля совершает полный оборот вокруг Солнца за 365 дней (точнее, за 365,242 суток), и это – солнечный год.

И тогда лунный год – это 12 месяцев, в каждом месяце 30 дней (округлили), вот и получается 360 дней в году, почти столько же, сколько в солнечном, в котором 365 дней.

«Может быть, боги хотели сделать в году ровно 360 дней, но им кто-нибудь помешал, вот и получилось 365». Возможно, так и рассуждали древние астрономы, деля круг на 360 частей, 360 градусов. Тем более, что 360 – число, имеющее целых 24 делителя.

Число 360 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 и 360. Очень удобно делить 360 градусов на части!

Обозначается: 360°. Этот кружок вверху – специальный символ для обозначения градуса.

Есть и другая мера измерения углов – радианная.

1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности.

Как перевести градусы в радианы и наоборот?

Составим пропорцию. Длина окружности так относится к длине дуги на нашем рисунке, как – к величине угла, опирающегося на эту дугу, то есть к углу в 1 радиан.

Слева в нашей пропорции углы, справа – длина полной окружности и длина отмеченной на рисунке дуги.

Из этой пропорции получаем, что радиан. Значит, полный круг – это радиан. Тогда полкруга – это радиан, четверть круга (то есть ) – это радиан.

Любой угол, выраженный в градусах, можно перевести в радианы. И наоборот, 1 радиан приблизительно равен 57 градусам.

Источник