что такое простые и составные числа 6 класс
Простые и составные числа.
Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а. Действительно, а:1 = а, а :а = 1.
Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.
Простых чисел бесчисленное множество. Максимального простого числа не бывает.
У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.
Натуральное число принято называть составным, если у него бывает больше двух натуральных делителей.
Поскольку единица имеет только один делитель, то ее не относят ни к простым, ни к составным числам.
Составное число 105 можно различными методами отобразить в виде произведения его делителей.
105 = 15 • 7 = 35 • 3 = 5 • 21 = 3 • 5 • 7.
Отличительной чертой конечного произведения выступает то, что все его множители — простые числа. Указывают, что число 105 разложено на простые множители. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.
Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.
При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:
1) 2940 поделится на 2, 2940 : 2 = 1470;
2) 1470 поделится на 2, 1470 : 2 = 735;
3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735 : 3 = 245;
4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245 : 5 = 49;
5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49 : 7 = 7;
6) 7 поделится на 7, 7 : 7 = 1.
Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….
Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.
Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа
На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.
Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.
Простые и составные числа
Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.
Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.
Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18
Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.
Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.
Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:
Пример 1
Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:
В) больше двух делителей
Решение:
Число 1 имеет один делитель: 1
Число 7 имеет два делителя: 1, 7
Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10
Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Число 13 имеет два делителя: 1, 13
Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ответ:
А) один делитель- 1
Б) два делителя- 7, 13
В) больше двух делителей- 10, 12, 24
Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.
Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.
Пример 2
Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?
Найдите все делители для составных чисел.
Решение:
Простые: 2, 17, 127
Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55
Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4
Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21
Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.
Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.
Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».
Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.
Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.
После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!
Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило: оставшиеся числа в таблице будут простыми.
Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?
Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.
Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А, кто видел решето, тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето, просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета.
Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.
На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто, как говорится в известном афоризме.
На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем без исключения и потерь.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Простые и составные числа: определения и примеры
Простые и составные числа: Freepick
Математика по-разному называет числа и делит их на определенные группы. На уроках услышите о простых и составных числах. Чем обосновано такое деление и как научиться различать эти категории чисел? Помогут разобраться в этом вопросе примеры.
Простые числа и их особенности
Сложение, вычитание, умножение, деление — все эти операции привычны для математиков, которые ловко оперируют самыми разными числами и способны вести подсчеты в уме не хуже, чем вычислительные машины. Помогают им в этом простые и составные числа.
Познакомимся с первой группой чисел. Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13. Легко заключить, что разделить его получится:
Любое число, которому подходит под это определение, попадает в группу простых. Следует помнить о том, что подразумевается деление числа нацело. С целым или дробным остатком деление возможно практически для любых чисел.
Числа в математике: Freepick
Для удобства в математике используются таблицы простых чисел. При их составлении вручную последовательно проверяется каждое число. Например:
Такие операции можно выполнять до числа 100 и далее.
Но в книге о простых числах выдающегося математика Л. Г. Шнирельмана указано, что существует бесконечное множество простых чисел. Как быть и можно ли ускорить процесс их нахождения?
Математики нашли решение этой задачи. Быстро отобрать простые числа можно с помощью решета Эратосфена:
На уроках часто пользуются уже готовыми таблицами, но важно помнить о том, каким образом в них оказываются те или иные числа. Кроме простых, выделяют также группу взаимно простых чисел, у которых есть только один общий делитель — единица (например, 14 и 25).
Что такое составные числа
Количество составных чисел в разы превышает количество простых. Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.
Рассмотрим это на примере:
Таким образом, составным числом называют такое число, у которого есть два и более простых множителей.
Зачем математики используют простые и составные числа? Это необходимо для упрощения разложения на множители. Вместо долгих поисков того, на какие числа можно разложить большое значение, достаточно использовать специальную таблицу.
Разложение на простые множители необходимо для определения самого большого общего делителя и самого маленького общего кратного. Эти значения применяют в сложении, вычитании и сравнении дробей.
Математические расчеты: Freepick
Обсуждая простые и составные числа, не было сказано, в какую группу отнести ноль и единицу. Остановимся на единице. Согласно определению, у простого числа должно быть два делителя — единица и оно само.
Но для единицы делитель фактически один, потому к простым числам ее нельзя отнести. Составным числом единица также не может быть (нет более двух делителей), а потому она остается числом без категории.
Как быть с нулем? Ноль, в отличие от единицы, делится на любые числа и получается при этом все тот же ноль. Кроме того, его не получится разложить на простые множители. С учетом теории и определения простых и составных чисел математики приняли решение ноль, как и единицу, исключить из категорий простых и составных чисел.
Таким образом, математикам удалось классифицировать и разделить на две большие группы все многообразие чисел. Ученые сделали это, найдя для них общие признаки. Простые числа имеют только два делителя, а у составных их гораздо больше. Вне этой классификации остались лишь единица и ноль.
Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора
Простые и составные числа
Всего получено оценок: 136.
Всего получено оценок: 136.
Любое число можно разложить на множители, и количество этих множителей может быть различно. В зависимости от количества множителей, числа делятся на два лагеря: простые и составные. Каждый подвид имеет свои свойства, но главное это возможность легко находить НОД, НОК и работать с дробями с помощью простых и сложных дробей.
Что такое простое и составное число
Простым числом называется число, которое делится только на 1 и на себя. Например, 13 – простое число, делится на 1 и на 13. Сложными или составными называются числа, которые раскладываются на простые множители. Сложные числа легко определить, а для простых составлена специальная таблица.
Большинство простых чисел всегда на слуху, но если у вас не получается разложить на множители большое число, то лучше воспользоваться таблицей простых и составных чисел и делить на каждое число из таблицы поочередно. Это долгий, но надежный способ.
Примеры
Задача 1
Необходимо разложить на множители число 229.
Это задача из разряда ловушек. Такие примеры создаются для того, чтобы все четко запомнили первое правило разложения любого числа: проверить его наличие в таблице простых чисел. Как раз число 229 находится в таблице простых чисел после 200.
Кстати, существуют таблицы для 1000 и 10000 чисел, но для школьных задач 1000 вполне достаточно.
Задача 2
Разложить на простые множители число 669825
Последнее число все еще 5, а значит можно еще раз поделить на 5.
Теперь попробуем поделить на 3:
Попробуем поделить на 7:
$2977:7=425$ (ост.2) – Нацело не делится. Значит нужно пробовать все простые числа поочередно.
$2977:13=229 – а 229$, как мы уже знаем, это простое число. Запишем разложение числа 669825
Задача 3
Выполнить разложение чисел на множители и найти НОД, НОК для двух чисел 745 и 564.
Для начала выполним разложение, а после найдем НОК и НОД. Этот порядок действий проще, потому как первым шагом для нахождения как НОК, так и НОД служи разложение чисел на простые множители.
$745=5*149$ – 149 является простым числом.
$564=2*2*3*47$ – обратите внимание, что в обоих случаях нельзя обойтись без таблицы простых чисел. В уме не получится определить относятся 47 и 229 к простым числам или нет.
НОД для этих чисел не существует. Так как у них нет общих множителей. По той же причине НОК для этих двух чисел будет равняется их произведению.
В 6 классе для закрепления темы решается много похожих задач. Но в дальнейшей программе обучения, когда навык уже будет выработан, числа станут меньше, а задачи практичнее.
Что мы узнали?
Мы дали определение простым и составным числам, поговорили о различиях. Выяснили, для чего нужно это разделение. Поговорили о разложении составных чисел на простые. Решили несколько примеров и узнали, что при разложении больших чисел не обойтись без таблицы простых чисел. А также применили полученные знания для нахождения НОД и НОК.
Простые числа – это натуральные числа, их можно разделить только на два значения: единицу и себя. К натуральным относят те, которые используются во время счета, поэтому должно выполняться требование, чтобы они были положительными и целыми. Делители также не должны быть отрицательными и дробными.
Они широко применяются в криптографии, когда необходимо закодировать важную информацию от посторонних глаз. Шифрование касается каждого человека, так как используется в создании электронной почты, банковских карт. Даже мобильная связь защищается кодами.
Кроме того, используются на системах, защищающих транспортные средства от угонщиков, создают преграду для атак вирусов и взломов компьютерных сайтов. При попытке продолжить разложение простых чисел или определить закономерность появления, возникают новые способы математических расчетов.
Математика предлагает начинать знакомиться с данными понятиями в средней школе, в 5 или в 6 классе.
Проверка на принадлежность к определенному множеству достаточно простая:
Простые числа можно делить только на 1 и на такое же число. Например 3 и 7 — простые числа, 3 делится на 1 и на 3, 7 делится на 1 и на 7.
Составные числа можно делить не только на себя и единицу. При этом не должно получаться остатка. Они делятся на одно или несколько значений. Например, 8 и 6 относят к составным. Восьмерка делится на 1, 2, 4, 8; шестерка – на 1, 2, 3 и 6.
Определение простых чисел позволяет исключить из их ряда единицу. Она характеризуется наличием только одного делителя, не являющегося отрицательным значением. Получить ее можно, используя только один способ, умножив саму на себя.
Простые двузначные числа определяются по внешнему виду:
Если оканчиваются четной цифрой, то точно являются составными. То же касается и значений, имеющих больше двух знаков.
Если на конце находится цифра 5, то она входит в число делителей.
Такие простые способы помогают легко классифицировать многозначные показатели.
Некоторые двузначные вводят в заблуждение с первого взгляда, если оканчиваются на единицу. Кажется, что разложить на множители их невозможно. Но есть исключения, например: 21, 81. Чем дальше, тем больше отклонений от этой закономерности.
Последовательность простых чисел
Есть целые алгоритмы, помогающие получать новое, ранее неизвестное значение.
Существуют таблицы, в которых собраны найденные числа, имеющие не больше двух делителей, например, до 200, 1000 или больше.
Последовательность можно продолжать бесконечно, начинается она так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д.
Наименьшее и наибольшее простое число
Самым меньшим значением, делящимся на себя и 1, является 2. Это единственное простое значение, являющееся четным. Остальные всегда делятся на два, то есть получают третий делитель.
Простых чисел много и их количество стремится к бесконечности, потому узнать самое большое невозможно.
Нескончаемость ряда была доказана еще до нашей эры Евклидом. Он предложил перемножить все известные исследуемые значения и прибавить к ним единицу.
При его делении в любом случае будет оставаться остаток, то есть отнести к составным невозможно. Что противоречит тому факту, что были использованы все известные простые числа, в том числе и самое большое. Значит, предположение о конечности ряда является неверным.
В настоящее время известно значение, имеющее около 25 миллионов знаков. Оно относится к наибольшему из открытых наукой, это 2 82 589 933
Множество простых чисел
Множествами называются совокупности элементов, объединенных в одно целое общими свойствами.
Для изучаемых объектов к ним относятся:
принадлежность к натуральным;
наличие максимум двух делителей.
Простые числа можно определить, используя решето Эратосфена. Нужно выписать в ряд все значения, с которыми предстоит работать. Выбрать самое маленькое и вычеркнуть его, затем продолжать действие, убирая кратные ему.
Например, в ряду от 1 до 100 первым таким объектом будет 2. Поэтому и вычеркивать нужно значения, кратные двойке, то есть те, которые делятся на нее.
По окончании из оставшихся выбрать новое простое, искать кратные ему и также убирать. Повторять, пока это представляется возможным.
В итоге, все составные окажутся зачеркнутыми.
Эратосфен использовал свое открытие следующим образом. Он брал папирус, записывал на нем необходимые значения, при отборе прокалывал неподходящие острым предметом (отсюда название «решето Эратосфена»). Поэтому они как будто просеивались через сито, и в списке оставались видимыми только необходимые.
Некоторые свойства простых чисел
Выделяют свойства, объединенные в теоремы, постулаты. Многие являются основой математических правил, используемых в настоящее время.
Изучением занимается теория чисел, при использовании формул простые числа обозначаются буквой n.
Известны следующие правила:
Если рассматривать два простых числа (n), одно из которых делится на другое, то можно утверждать, что они равны.
Все являются нечетными, за исключением двойки.
Можно выделить пары, разница между которым равна 2. При их сложении получается значение, кратное трем. Их так и называют парными или близнецами. Исключение составляют две первые цифры в ряду, 3 и 5, так как сумму, полученную при их сложении, нельзя разделить на 3.
Для каждого натурального значения (N), большего единицы, существует n, превышающее его. При этом удвоенное натуральное будет больше n.
Если одно из двух N делится на n, то их произведение также будет делиться на него.
Любое N, за исключением единицы, можно отнести к n или представить в виде их произведения.
Если взять составное число и разложить его на множители n, то среди них окажется один, квадрат которого будет меньше первоначального составного.
Некоторые n имеют пары, которые можно найти, перевернув n наоборот. Например, 13 и 31, 37 и 73. То же самое касается трехзначных n: 107 и 701, 709 и 907.
Если N возвести в степень, представленную n, а затем вычесть N, то полученное значение будет делиться на используемое n. Это правило представляет собой малую теорему Ферма.
Действия с простыми числами
Можно использовать разные арифметические действия, складывать, умножать, вычитать, делить. Простые числа могут являться основанием и показателем степени.
Извлечь корень из них невозможно.
Таблица простых чисел до 1000
Таблица простых числе до 10000
