что такое приращение импульса материальной точки

Что такое приращение импульса материальной точки

Роль законов сохранения в механике, да и в других разделах физики огромна.

Во-первых, они позволяют решать ряд практически важных задач, например, по первоначальному состоянию системы, не зная подробностей взаимодействия тел, определять её конечное состояние, зная скорости тел до взаимодействия, определять скорости этих тел после взаимодействия.

Во-вторых, и это главное, открытые в механике законы сохранения играют в природе огромную роль, далеко выходящую за рамки самой механики.

Они применимы как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и элементарным частицам.

Вспомните, что такое импульс материальной точки.

С направлением какой из перечисленных величин совпадает направление импульса — силы, скорости или ускорения?

Второй закон Ньютона

m =

можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии».

Если на материальную точку действует постоянная сила, то постоянным будет и ускорение тела

где ₁ — начальное значение скорости материальной точки;
₂ — конечное значение скорости материальной точки.

Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона, получим

Импульс материальной точки — это физическая величина, равная произведению массы материальной точки на её скорость:

= m. (4.2)

Из формулы (4.2) видно, что импульс — векторная величина.
Так как m > 0, то импульс имеет такое же направление, как и скорость (рис. 4.1).

Обозначим через ₁ = m₁ импульс материальной точки в начальный момент времени, а через ₂ = m₂ — её импульс в конечный момент времени.

Δ = Δt.

Так как Δt > 0, то направления векторов Δ и совпадают.

Уравнение (4.3) показывает, что одинаковые изменения импульса могут быть получены в результате действия большой силы в течение малого интервала времени или малой силы за большой промежуток времени.

Произведение силы на время её действия называют импульсом силы.

Изменение импульса материальной точи равно импульсу действующей на нее силы.

Единица импульса не имеет особого названия, а её наименование получается из определения этой величины (см. формулу (4.2)):

1 ед. импульса = 1 кг • 1 м/с = 1 кг • м/с

Для нахождения импульса тела, которое нельзя считать материальной точкой, поступают так:
мысленно разбивают тело на отдельные малые элементы (материальные точки), находят импульсы полученных элементов, а потом суммируют их как векторы.

Поставьте на лист бумаги банку с водой.
Дёрните лист с большой силой так, чтобы он выскользнул из-под банки, а банка при этом осталась бы на месте.
Затем потяните лист так, чтобы банка двигалась вместе с листом.
Сравните время действия сил. Объясните, почему в первом случае банке не сообщается импульс, а во втором сообщается.

Импульс тела равен сумме импульсов его отдельных элементов.

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов каждого из тел системы:

Систему тел составляют взаимодействующие тела, движение которых мы рассматриваем.

Источник

Что такое приращение импульса материальной точки

В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.

Система отсчёта, в которой любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.

инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют

в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:

`Delta vec p = vec F * Delta t` (1)

Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в данной системе отсчёта:

в ИСО приращение импульса материальной точки равно импульсу силы.

Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:

в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:

Если масса тела остаётся неизменной, то `Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v`, и соотношение (1) принимает вид `m Delta vec v = vec F Delta t`. С учётом `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности соотношений (1) и (2) в рассматриваемом случае.

В настоящем Задании представлены задачи, для решения которых привлекается второй закон Ньютона (см.(1)), устанавливающий равенство приращений импульса материальной точки и импульса силы.

при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:

1) силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,

2) эти силы равны по величине,

3) они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.

Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:

Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.

Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:

привести «моментальную фотографию» движущегося тела, указать приложенные к нему силы;

выбрать инерциальную систему отсчёта;

составить уравнение (3);

перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления;

решить полученную систему.

Рассмотрим характерные примеры.

На рис. 1 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона

`(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_(«тр») + vec F`.

Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона

и в процессе торможения `(F = 0)`

Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки:

Далее рассмотрим пример, в котором одна из сил зависит от времени.

Так как `mg в импульсе силы можно интерпретировать как площадь элементарного прямоугольника со сторонами `F(t)` и `Delta t` на графике зависимости `F(t)`). Тогда импульс силы `F` за время удара равен

и в рассматриваемом случае не зависит от того, в какой именно момент времени сила достигает максимального значения (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту!). Далее находим импульс мяча в момент окончания действия силы

Отсюда находим начальную скорость полёта мяча

`v = (F_max * tau)/(2m) = (3,5 * 10^3 * 8 * 10^-3)/(2 * 0,5) = 28 sf»м/с»`

и максимальную дальность (старт под углом `alpha = pi/4`) полёта

В рассматриваемом модельном примере получен несколько завышенный по сравнению с наблюдениями результат.

На вступительных испытаниях и олимпиадах в вузах России регу­лярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с «традицион­ными» силами: силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело дейст­вует сила лобового сопротивления. Такая сила возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.

Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v = 10 sf»м/с»`, упал на землю, имея вертикальную составляющую скорости по абсолютной величине на `delta = 30 %` меньшую, чем при бросании. Найдите время по­лёта мяча. Считать, что сила сопротивления движению мяча пропорциональна его скорости.

Согласно второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы:

Переходя к проекциям сил и приращения скорости на вертикальную ось, получаем

Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`, и перепишем последнее соотношение в виде:

Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`:

Переходя к конечным приращениям, получаем

Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое

Кубик, движущийся поступа­тельно со скоростью `v` (рис. 4) по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с шероховатой вертикальной стенкой.

Коэффициент трения `mu` скольжения кубика по стенке и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика в результате соударения не изменяется по величине.

Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 5.

По второму закону Ньютона

`Delta vec p = (m vec g + vecN_(«г») + vecF_(«тр») + vecN_(«в») ) * Delta t`.

Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем

Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf»в» Delta t` по всему времени `tau` соуда­рения, получим:

Источник

Что такое приращение импульса материальной точки

В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.

Система отсчёта, в которой любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.

инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют

в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:

`Delta vec p = vec F * Delta t`.

Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в данной системе отсчёта:

в ИСО приращение импульса материальной точки равно импульсу силы.

Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:

в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:

Действительно, если масса тела остаётся неизменной, то

`Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v = vec F Delta t`.

С учётом равенства `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности приведённых формулировок второго закона.

Далее в Задании представлены задачи, иллюстрирующие применение законов Ньютона и их следствий: теорем об изменении импульса и энергии в механике.

при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:

1. силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,

2. эти силы равны по величине,

3. они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.

Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:

`(Delta vec p)/(Delta t) = vec(F)`.

Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.

Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:

привести «моментальную фотографию» движущегося тела, указать приложенные к нему силы;

выбрать инерциальную систему отсчёта,

привести «моментальную фотографию» движущегося тела, указать приложенные к нему силы,

составить уравнение динамики,

перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления,

решить полученную систему.

Рассмотрим характерные примеры.

К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени `t_1 = 10 sf»с»` горизонтальную силу величиной `F = 5 sf»H»`. После прекращения действия силы тело движется до остановки `t_2 = 40 sf»с»`. Определите величину `F_sf»тр»` силы трения скольжения, считая её постоянной.

На рис. 4 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона

`(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_(«тр») + vec F`.

Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона

и в процессе торможения `(F = 0)`

`Delta p_x =- F_sf»тр» Delta t`.

Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки

`sum Delta p_x = sum_(0 0`.

Согласно второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы

переходя к проекциям сил и приращения скорости на вертикальную ось, получаем

Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`, и перепишем последнее соотношение в виде,

Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`

Переходя к конечным приращениям, получаем

Отсюда находим продолжительность полёта мяча

Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 6. По второму закону Ньютона

`Delta vec p = (m vec g + vec(N_sf»Г») + vec(F_sf»тр») + vec(N_sf»В»)) * Delta t`.

Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем

`Delta p_x =- F_sf»тр» Delta t`, `Delta p_y = N_sf»В» Delta t`.

Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf»В» Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим

Далее рассмотрим две характерные задачи динамики равномерного движения по окружности.

Массивный шарик, подвешенный на лёгкой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости. Расстояние от точки подвеса нити до плоскости, в которой происходит движение, равно `H`. Найдите период `T` обращения шарика.

Заметим, что `H = L cos alpha`. Обратимся к динамике. На шарик действуют сила тяжести `m vec g` и сила натяжения `vec F` нити. Эти силы сообщают шарику направленное к центру окружности нормальное ускорение, по величине равное `a = (4 pi^2)/(T^2) r`.

`m * (4 pi^2)/(T^2) r = F sin alpha`,

Исключив из этих соотношений силу натяжения, приходим к ответу

Период обращения конического маятника зависит только от расстояния от точки подвеса до плоскости движения.

Маленький деревянный шарик прикреплён с помощью нерастяжимой нити длиной `l = 30 sf»см»` ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити `r = 20 sf»см»`. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклонится от вертикали на угол `alpha = 30^@`?

Нить с шариком отклонится к оси вращения. Действительно, на шарик будут действовать три силы: сила тяжести `m vec g`, сила натяжения `vec T` нити и сила Архимеда `vec F` (рис. 8).

проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на нормальное направление, получаем

Исключая `T` из двух последних соотношений, находим искомую угловую скорость

Источник

Что такое приращение импульса материальной точки

Найдём скорость `(Delta vecP_(«c»))/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку действуют суммарной силой `vecF_1` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vecf_(12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vecF_2`, и внутренняя сила `vecf_(21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем

`(Delta vecP_(«c»))/(Delta t) = (Delta vecp_1)/(Delta t) + (Delta vecp_2)/(Delta t) = (vecF_1 + vecf_(12)) + (vecF_2 + vecf_(21))`.

По третьему закону Ньютона `vecf_(12) + vecf_(21) = vec 0`, и мы приходим к теореме об изменении импульса системы материальных точек

`(Delta vecP_(«c»))/(Delta t) = vecF_1 + vecF_2`,

скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы (рис. 9), с которыми клин действует на опору.

По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vecR_1 =- vecF_(«тр»` и силой нормальной реакции `vecR_2 =- vecN_(«г»)`, действующими на клин со стороны опоры (рис. 10). Силы `vec(F_sf»тр»)` и `vec(N_sf»г»)`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению к системе «клин + брусок» и определяют скорость изменения импульса этой системы.

Импульс `vecP_(«c»)` системы направлен по скорости бруска и по величине равен произведению массы бруска на его скорость `vecP_(«c») = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона (рис. 11):

`(Delta vecp)/(Delta t) = m vec g + vec N + vec(f_sf»тр»`.

Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf»тр» = mu N`, получаем

По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»

`(Delta vecP_(«c»))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vecN_(«г») + vecF_(«тр»)`.

Переходя в последнем равенстве к проекциям на горизонтальное и вертикальное направления с учётом

Отсюда находим искомые силы

Источник

Физика. 10 класс

Импульс тела и импульс силы

Импульс. Закон сохранения импульса

Необходимо запомнить

Импульс тела равен сумме импульсов отдельных элементов.

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов каждого из тел системы:

Силы, с которыми взаимодействуют между собой тела системы, называют внутренними, а силы, создаваемые телами, не принадлежащими к данной системе, – внешними.

Систему, на которую не действуют внешние силы, или векторная сумма внешних сил равна нулю, называют замкнутой.

Абсолютно неупругий удар – столкновение тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно целое.

Абсолютно упругий удар – столкновение тел, в результате которого не происходит соединения тел в одно целое и их внутренние энергии остаются неизменными.

Закон сохранения импульса:

Решение задачи на применение закона сохранения импульса

Количество движения

Французский учёный Рене Декарт попытался импульс использовать как величину, заменяющую силу. Потому что силу измерять достаточно сложно, а измерить массу и скорость несложно. Поэтому часто говорят, что импульс – это количество движения (именно Ньютон впервые назвал количеством движения произведение массы тела на скорость).

Декарт, судя по его высказываниям, понимал фундаментальное значение введенного им в XVII веке понятия количества движения – или импульса тела – как произведения массы тела на величину его скорости. И хотя он совершил ошибку, не рассматривая количество движения как векторную величину, сформулированный им закон сохранения количества движения выдержал с честью проверку временем. Ошибка была исправлена в начале XVIII века, и триумфальное шествие этого закона в науке и технике продолжается по сию пору.

. Декарт обосновывал принцип сохранения количества движения совершенством бога, «действующего с величайшим постоянством и неизменностью».

. закон сохранения импульса позволяет «разыскать» и невидимые объекты, например, электромагнитные волны, излучаемые открытым колебательным контуром, или антинейтрино – субатомные частицы, не оставляющие следов в детекторах.

Источник