что такое прикладная геометрия
Что такое прикладная геометрия
Основы геометрии. Определения основных элементов, пятый элемент
вот только это абстрактное определение содержит больше вопросов, чем ответов и потому даже первоклассник такое определение вряд ли поймет. Между тем даже трехлетний ребенок, гуляя на улице, находит самую длинную палку, а если вы ее заберете и дадите взамен более короткую, то ребенок вполне может и расплакаться. Из чего следует, что понятие длины ребенку хорошо знакомо, даже если он еще никогда в жизни слова такого не слыхал.
Радиус кривизны плоской кривой
Любая линия является кривой, даже прямая. Поэтому к любой линии применимы такие характеристики как кривизна или радиус кривизны. Как правило кривизна обозначается латинской литерой k, а радиус кривизны греческой литерой ρ.
Между собой эти характеристики кривой связаны следующим образом:
k = 1/ρ (542.1)
Т.е. чем больше радиус кривой, тем меньше ее кривизна.
А теперь рассмотрим несколько частных случаев кривых.
Основы геометрии. Начала Евклида
Основы геометрии. Предисловие
Курт Воннегут. «Колыбель для кошки»
Основы геометрии. Историко-философские предпосылки
Касательная к окружности, почему прямой угол?
Если прямая линия имеет две общих точки с окружностью, то такая линия пересекает окружность, а значит, касательной не является. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°.
Упс. Теперь пришла моя очередь выпасть в осадок.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора формулируется так: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». В математическом выражении эта формулировка выглядит еще короче:
с 2 = а 2 + b 2 (541.1)
Вообще-то эту теорему проще запомнить как аксиому, принимаемую без доказательств, чем понять. Что я и сделал лет 40 тому назад и вполне успешно этой теоремой пользовался. Но сейчас стало просто интересно, а почему квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов? Точнее захотелось найти простое и внятное объяснение этого.
Чему равно число пи в небесной геометрии
Почему нельзя точно определить значение синуса или косинуса угла?
На первый взгляд это предположение звучит странно. Как это так? Почему это нельзя точно определить значение синуса или косинуса угла? О чем вообще речь?!
Как сделать прямой угол между стенами.
Древнегреческие геометры и, в частности Евклид, старались зря, их знания до советских строителей так и не дошли. В том смысле, что прямоугольных помещений в советских домах не бывает. А бывают в лучшем случае в виде параллелограмма, усеченной трапеции или ромба, а в худшем и наиболее распространенном в виде неправильного четырехугольника. Это довольно часто затрудняет качественную отделку помещений. Приходится искать прямой угол самому. Сделать это в общем-то несложно.
Разметку проще всего производить на полу. Для этого Вам понадобятся:
прикладная геометрия
Смотреть что такое «прикладная геометрия» в других словарях:
Прикладная математика — область математики, рассматривающая применение математических методов, алгоритмов в других областях науки и практики. Примерами такого применения будут: численные методы, математическая физика, линейное программирование, оптимизация и… … Википедия
Геометрия — (от др. греч. γῆ Земля и μετρέω «мерю») раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения[1]. Содержание … Википедия
ГЕОМЕТРИЯ ВЛАСТИ — (geometry of power) межотраслевая прикладная дисциплина, формирующаяся наука о пространственном распространении и распределении власти, ее объемах, а также способах их изучения и измерения … Власть. Политика. Государственная служба. Словарь
Аналитическая геометрия — Декартова система координат Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором … Википедия
Неевклидова геометрия — Неевклидова геометрия в буквальном понимании любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим… … Википедия
Дифференциальная геометрия и топология — Дифференциальная геометрия и дифференциальная топология два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела… … Википедия
Белкин, Юрий Васильевич — Декан факультета естественных наук Ленинградского кораблестроительного института (Санкт Петербургского морского технического университета) с 1984 г.; родился 1 октября 1944 г. в г. Ленинграде; окончил Ленинградский кораблестроительный институт в… … Большая биографическая энциклопедия
Механико-машиностроительный факультет СПбГПУ — Механико машиностроительный факультет Санкт Петербургский государственный политехнический университет … Википедия
Механико-машиностроительный факультет (СПбГПУ) — Механико машиностроительный факультет (ММФ) факультет СПбГПУ. Образован в 1907 году. Готовит специалистов в области механики и машиностроения. С 2006 г. декан ММФ доктор технических наук, профессор Радкевич, Михаил Михайлович. Кафедры Автоматы… … Википедия
Психология — Сюда перенаправляется запрос «Психолог». На эту тему нужна отдельная статья … Википедия
Медицинская антропология — научная дисциплина[1] социально культурной направленности, представляющая собой комплекс знаний о медицинских системах, существовавших и существующих в разных обществах, о традициях врачевания и их формах, о восприятии и переживании состояний… … Википедия
Найден самый древний пример прикладной геометрии. Табличке с расчетами 3700 лет
Удивительно осознавать, что уже 3700 лет назад люди пользовались теми же формулами, что и мы сегодня
Открытие было сделано во время изучения глиняной таблички Si.427, которая является экспонатом в одном стамбульском музее. Она находится там с тех пор, как была обнаружена на территории современного Ирака в 1894 году.
Считается, что тригонометрия появилась у древних греков, изучавших ночное небо, еще во II веке до н. э. Но жители Вавилона разработали свою собственную «прото-тригонометрию», чтобы решать проблемы с измерением земли.
Доктор Дэниел Мэнсфилд из Университета Нового Южного Уэльса и его коллеги долгое время изучали «прото-тригонометрию» на примере артефакта Plimptom 322. Они были уверены, что он имел какое-то практическое применение, например, при строительстве дворцов или обследовании полей. Просматривая литературу по этой теме, Мэнсфилд узнал о существовании Si.427 и ее своеобразных гравюрах. Узнав, где она находится, он отправился в Археологический музей в Стамбуле.
Изучение таблички заняло месяцы, после чего ученые поняли, что Si.427 показывает диаграмму поля, разделяемого для продажи. Точность границ на таблице была достигнута с использованием так называемых пифагоровых троек, математического метода, используемого для создания идеального прямого угла.
Геометрия
Содержание
Классификация
Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.
Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы.
По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы.
История
Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.
Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.
Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.
Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.
Что такое геометрия? Наука геометрия
Геометрия является важной частью математики, которую начинают изучать в школах с 7 класса в качестве отдельного предмета. Что такое геометрия? Что она изучает? Какие полезные выводы можно из нее извлечь? Все эти вопросы подробно рассматриваются в статье.
Понятие о геометрии
Вам будет интересно: Гудериан Гейнц: биография, личная жизнь, семья, карьера
В ходе своего развития геометрия обзавелась набором понятий, которыми она оперирует с целью решения различных задач. К таким понятиям относятся точка, прямая, плоскость, поверхность, отрезок, окружность, кривая, угол и другие. Основой этой науки являются аксиомы, то есть концепции, связывающие геометрические понятия в рамках утверждений, которые принимаются в качестве истинных. На основании аксиом строятся и доказываются теоремы.
Когда появилась эта наука
Вам будет интересно: «Временный» или «временной»: как правильно? Разница между словами
Что такое геометрия с точки зрения истории? Здесь следует сказать, что она является очень древним учением. Так, ее использовали древние вавилоняне при определении периметров и площадей простых фигур (прямоугольников, трапеций и др.). Развита она была и в Древнем Египте. Достаточно вспомнить знаменитые пирамиды, строительство которых было бы невозможно без знания свойств объемных фигур, а также без умения ориентироваться на местности. Отметим, что знаменитое число «пи» (его приблизительное значение), без которого невозможно определить параметры круга, было известно египетским жрецам.
Разрозненные знания о свойствах плоских и объемных тел были собраны в единую науку только во времена Античной Греции благодаря деятельности ее философов. Самым важным трудом, на котором основываются современные геометрические учения, являются «Элементы» Евклида, которые были им составлены приблизительно в 300 году до нашей эры. Около 2000 лет этот трактат являлся основой для каждого ученого, который занимался исследованием пространственных свойств тел.
В XVIII веке французский математик и философ Рене Декарт заложил основы так называемой аналитической науки геометрии, которая описывала с помощью численных функций любой пространственный элемент (прямую, плоскость и так далее). С этого времени начинают появляться многие ветви в геометрии, причиной существования которых является пятый постулат в «Элементах» Евклида.
Евклидова геометрия
Что такое геометрия Евклида? Это достаточно стройное учение о пространственных свойствах идеальных объектов (точек, прямых, плоскостей и т.д.), которое основывается на 5 постулатах или аксиомах, изложенных в труде под названием «Элементы». Аксиомы приведены ниже:
Евклидова геометрия составляет основу любого современного школьного курса по этой науке. Более того, именно ею человечество пользуется в ходе своей жизнедеятельности при конструировании зданий и сооружений и при составлении топографических карт. Здесь важно отметить, что набор постулатов в «Элементах» не является полным. Он был расширен немецким математиком Давидом Гильбертом в начале XX века.
Виды евклидовой геометрии
Мы разобрались, что такое геометрия. Рассмотрим, какие ее виды бывают. В рамках классического учения принято выделять два вида этой математической науки:
Неевклидовы геометрии
Что такое геометрия в ее широком понимании? Помимо привычной нам науки о пространственных свойствах тел, существуют также неевклидовы геометрии, в которых пятый постулат в «Элементах» нарушается. К ним относятся эллиптическая и гиперболическая геометрии, которые были созданы в XIX веке немецким математиком Георгом Риманом и русским ученым Николаем Лобачевским.
Изначально полагали, что неевклидовы геометрии имеют узкую область применения (например, в астрономии при изучении небесной сферы), а само физическое пространство является евклидовым. Ошибочность последнего утверждения показал Альберт Эйнштейн в начале XX века, разработав свою теорию относительности, в которой он обобщил понятия пространства и времени.
Геометрия в школе
Как было сказано выше, изучение в школе геометрии начинается с 7 класса. При этом школьникам демонстрируют основы планиметрии. Геометрия 9 класса уже включает изучение трехмерных тел, то есть стереометрию.
Главная задача школьного курса состоит в том, чтобы развить у школьников абстрактное мышление и воображение, а также научить их мыслить логически.
Многие исследования показали, что при изучении этой науки у школьников наблюдаются проблемы с абстрактным мышлением. Когда формулируется для них геометрическая задача, они часто не понимают ее суть. У старшеклассников к проблеме с воображением добавляются трудности понимания математических формул для определения объема и площади поверхности разверстки пространственных фигур. Часто старшеклассники при изучении геометрии 9 класса не знают, какой формулой следует воспользоваться в конкретном случае.
Школьные учебники
Существует большое количество учебных пособий для обучения школьников этой науке. Одни из них дают только базовые знания, например, учебники Л. С. Атанасяна или А. В. Погорелова. Другие преследуют цель углубленного изучения науки. Здесь можно выделить учебник А. Д. Александрова или полный курс геометрии Бевза Г. П.
Поскольку в последние годы для сдачи всех экзаменов в школе введен единый стандарт ЕГЭ, стали необходимы учебники и решебники, которые позволяют ученику быстро самостоятельно разобраться с необходимой темой. Хорошим примером таких пособий можно назвать геометрию Ершовой А. П., Голобородько В. В.
Любой из названных выше учебников имеет как положительные, так и отрицательные отзывы со стороны учителей, поэтому преподавание в школе геометрии часто осуществляется с использованием нескольких учебников.