что такое предельный переход

Непрерывность функции и предельный переход

Некоторая функция f будет стремится к числу А при х стремящемся к точке х0 тогда, когда разность f(x) – A будет сколь угодно мала. Другими словами, выражение |f(x) –A| становится меньше любого наперед заданного фиксированного числа h > 0, при уменьшении модуля приращения аргумента |∆x|.

Предельный переход

Нахождение этого числа А по функции f называют предельным переходом. В школьном курсе предельный переход будет встречаться в двух основных случаях.

1. Предельный переход в отношении ∆f/∆x при нахождении производной.

2. При определении непрерывности функции.

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке х0, если f(x) стремится к f(x0) при стремлении x к x0. При этом: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
Это означает, что |∆f| будет малым при малых |∆x|. Если описывать словами, то малым изменениям аргумента соответствуют малые изменения значения функции.

Функции, которые встречаются в школьном курсе математики, например, линейная функция, квадратичная функция, степенная функция и другие, непрерывны в каждой точке области, на которой они определены. У этих функций графики изображаются непрерывными кривыми линиями.

На этом факте основывается способ построения графика функции «по точкам», которым мы обычно пользуемся. Но прежде чем им пользоваться, необходимо выяснить действительно ли рассматриваемая функция будет непрерывна. Для простых случаев это можно сделать на основании определения непрерывности, которое мы дали выше.

Например: докажем, что линейная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой y = k*x + b.

Согласно определению, нам нужно показать, что |∆f| становится меньше любого наперед заданного числа h>0, при малых |∆x|

|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.

Если взять |∆x| >h/|k| при k не равном нулю, то |∆f| будет меньше любого h>0, что и требовалось доказать.

Правила предельного перехода

При использовании операции предельного перехода следует руководствоваться следующими правилами.

1. Если функция f непрерывна в точке x0, то ∆f стремится к нулю при стремлении ∆х к нулю.

2. Если функция f имеет производную в точке х0, то ∆f/∆x стремится к f’(x0) при стремлении ∆x к нулю.

3. Пусть f(x) стремится к A, g(x) стремится к B при стремлении х к х0. Тогда:

f(x) + g(x) стремится к A + B;

f(x)*g(x) стремится к A*B;

f(x)/g(x) стремится к A/B ( при B не равном нулю).

Источник

Что такое предельный переход

Опубликовано в «Журнале Русского физико-химического общества. Часть. физическая», т.LX, с.13, 1928. Перепечатано в журнале «Ядерная физика», 2002, т.65, сc.1406-1408, 2002, с предисловием Л.Б.Окуня, «Ядерная физика», 2002, т.65, сc.1404-1405, 2002. Сохранена орфография оригинала.

1. При построении системы единиц в физике можно отметить два метода выбора единиц для какой-либо новой величины:

I. Просто задается произвольный эталон (например: обычные определения грамма, ома и т.п.).

II. Пользуясь каким-либо законом A, связывающим нашу величину с уже известными и содержащими численный коэффициент, подбираем наш эталон таким образом, чтобы коэффициент обратился в единицу (например: определение единицы заряда по закону Кулона).

Во втором случае как число основных произвольных эталонов, так и число мировых констант остается неизменным: мы получаем лишь естественную (по отношению к предыдущим) единицу для измерения нашей величины. Единица эта будет меняться при изменении основных эталонов. Характером этого изменения занимается дименсиональный анализ, вводящий понятнее размерности данной физической величин.

Константы нулевой размерности не зависят от выбора основных единиц и поэтому могут быть рассматриваемы как константы математические (числа). Можно надеяться, что осе эти уже числовые константы будут получены теоретически. Поэтому в рамках данной системы размерностей мировые константы, из которых можно составить агрегат нулевой размерности, должны находиться в математическом соотношении и не являются независимыми.

Из вышеизложенного следует, что мы всегда можем уменьшить число основных эталонов (число размерностей), воспользовавшись для этого одной из мировых постоянных и положив ее равной единице. (Переход от первого определения единицы ко второму.) Назовем этот процесс редукцией. Для возможности полной редукции (доведение числа эталонов до нуля) необходимо наличие независимых констант в числе не меньшем, чем число измерении, положенное в основу нашей системы единиц. Число независимых констант, очевидно, не может превысить числа независимых единиц, положенных в основу системы размерностей. Так, например: в ньютоновой механике возможна была лишь редукция к двум единицам, так как при наличии трех основных размерностей T, L, М имелся лишь один закон с мировой постоянной:

Вторая постоянная, дающая возможность редукции к одной единице, вводится частной теорией относительности соотношением:

Наконец последняя недостающая константа h фигурирует в обосновании волновой механики:

(выражение фазы через действие W).

Обычно мы имеем случай, когда констант (известных нам из опыта и пока еще не приведенных к меньшему числу установлением математических соотношений) гораздо больше, чем принятых нами основных единиц. В этом случае при выборе констант для совершения полной редукции выгодно выбирать константы наиболее общие.

Как на другие примеры выбора основной системы укажем на планкову натуральную систему единиц (с, , h, k).

3. Если мы положим, согласно предыдущему, в основу теории размерностей три основные постоянные h, 1/с, , то мы сможем получить «естественные единицы» для всех других физических величин, в том числе для массы и для электрического заряда. Полученные таким путем единицы заряда и массы не совпадают с «элементарными» значениями этих величин, полученными из опыта. (Заряд и массы электрона и протона.)

Да и трудно было бы ожидать совпадения, ибо массы электрона и протона различны, и было бы странно, чтобы одна из них оказалась основной.

Естественно ожидать, что обе эти массы будут лишь как-то выражаться через «естественную единицу» массы. Два значения для массы (m₊, m_—) могут быть связаны с тем, что уравнение, из которого они будут определяться, имеет два различных корня соответственно двум значениям заряда (+е;-е).

Не имея еще теории электрона, можно, однако, на основании теории размерностей, вывести некоторые заключения о характере этой теории. Найдем размерность заряда и массы, выраженную в наших основных размерностях [h], [1/с], []. Несложные выкладки дают:

где и суть числовые константы, различные для протона и электрона. (Очевидно, )

Приведенные формулы размерностей могут также дать ценные указания о возможности построения теории электрона на основании неполной системы теоретической физики, когда некоторые мировые константы положены равными нулю.

Нетрудно видеть, что единственная неполная система, приводящая к конечным значениям заряда и массы, есть система:

т.е. неквантовый, нерелятивистский, гравитирующий электрон. В этом случае заряд электрона становится новой мировой постоянной.

Другие же неполные системы приводят к бесконечно малым (=большим) зарядам или массам. В частности, обречены на неудачу часто производимые попытки построить теорию неквантового электрона в общей теории относительности (; ; , откуда: ).

Ленинград.
20 октября 1927 г.

1) Если имеется, конечно, закон, связывающий новую величину с раньше известными.

2) С некоторой точки зрения в каждом новом законе можно видеть новую постоянную нередуцируемую, вводя соответственную новую размерность.

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Процесс предельного перехода (3.4), с помощью которого определяется производная, называется дифференцированием. Понятие производной широко используется в механике и во всех других разделах физики. [2]

При этом надо твердо помнить, что в процессе предельного перехода обе величины х и у рассматриваются как постоянные ( ср. [5]

Смысл подобных выражений состоит в том, что в них каждый раз подразумевается тот процесс предельного перехода ( от конечных сумм к интегралам), который нам встречался в каждой из рассмотренных выше задач. [7]

Успех доказательства определился тем, что столбцы Т ( е), оставаясь в процессе предельного перехода взаимно ортогональными, не могли стать линейно зависимыми, как это могло бы случиться в общей ситуации. [8]

Уже со средней школы читателю знаком тот, по существу восходящий к классической древности, процесс предельного перехода ( принадлежащий Архимеду), при помощи которого определяется число я. Однако это определение мало чем помогает, если мы хотим действительно получить это число с известной точностью. Чтобы произвести подобное вычисление, мы не можем поступить иначе, как представить число л посредством некоторого предельного процесса, именно рассматривая его как предел последовательности хорошо известных и легко определимых чисел. [9]

Поскольку два взаимодействующих тела вызывают не только результирующие силы, но также и результирующие моменты, то представляется необходимым удостовериться в том, что обобщенный закон тяготения (91.2) приводится к начальному исходному и не сопровождается какими-либо не обращающимися в нуль парами, когда тела TI и Т2 в процессе предельного перехода обращаются в точку. [12]

Источник

Предельный переход в неравенствах

Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности и .

Теорема 15.1. Если и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то .

Допустим, что . Из равенств и следует, что для любого найдется такое натуральное число , что при всех будут выполняться неравенства и , т. е. и . Возьмем . Тогда: и , т. е. . Отсюда следует, что . Это противоречит условию Следовательно, .

Теорема 15.2. Если и справедливо неравенство (начиная с некоторого номера), то .

(Примем без доказательства.)

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Предельный переход

Средняя скорость представляет собой неполноценное описание быстроты моего движения при ходьбе. Скорость «3 км/час» ничего не говорит о темпе моего движения в каждой точке пути – это лишь усредненная скорость прохождения пути от начала до конца. Если я хочу иметь лучшее описание, мне нужно найти способ измерения моей скорости в каждой точке. Большинство из нас меньше интересует скорость, нежели опыт передвижения. Но физикам и полиции необходимо измерять скорость!

Лишь в 1650 г. западные ученые наконец открыли способ измерения скорости в любой точке пространства и времени. Ньютон и Лейбниц хотели измерять непостоянный мир изменений движения и предложили радикальную идею, которою они назвали предельным переходом. Идея предельного перехода составляет основу дифференциального исчисления и, поскольку вся физика основывается на дифференциальном исчислении, идея предельного перехода занимает центральное место во всей физике.

Я говорю своим слушателям, что для того, чтобы понять идею предельного перехода, нам следует вернуться к подробностям моей ходьбы. Допустим, что расстояние от стены до середины помещения составляет около 10 метров. Я говорю, что если мы используем общепринятый способ измерения времени, например по часам на стене аудитории, то сможем определить длительность моего движения. Затем я снова прохожу эти 10 метров и вместе со всеми присутствующими замечаю, что на это у меня уходит 5 секунд.

Имея эту новую информацию о времени, мы можем подсчитать мою скорость. Разделив расстояние 10 метров на время 5 секунд, мы получаем скорость 2 метра в секунду. Теперь у нас есть средняя скорость движения между двумя точками, но мы по-прежнему хотим знать больше. Чтобы иметь точные данные, нам нужно придумать, как измерять мою скорость в каждой отдельной точке. Это тот же вопрос, на который пришлось отвечать Ньютону.

Я представляю себе, что Ньютон использовал нечто вроде следующего эксперимента. Вероятно, он думал: «Пусть человек идет, а мы будем определять его скорость с помощью точных часов, измеряя, сколько он проходит, скажем, за пару секунд. Затем будем уменьшать время. Позволим ему двигаться только очень небольшое время, например полсекунды. Тогда мы снова можем находить его скорость в течение более коротких промежутков времени и на более коротких расстояниях. Нам нужно лишь разделить расстояние, которое он проходит за эти полсекунды и получить его среднюю скорость».

Рис. 11.1. Короткий путь

Потом Ньютона осенило. Он, должно быть, подумал: зачем ограничиваться тем, что мы можем измерять в настоящее время? Почему думать только о наших часах и линейках, которые не так уж точны? Предположим, что наши измерительные инструменты гораздо лучше и могут измерять очень маленькие расстояния и времена, вроде одной миллионной доли сантиметра и одной миллиардной доли секунды. Представьте себе прогулку длительностью в долю секунды!

Рис. 11.2. Очень маленькая прогулка

Зачем ограничиваться долей секунды? Почему не идти дальше в мысленном эксперименте, доводя его до предела? Давайте вообразим измерение расстояния, которое кто-то проходит за бесконечно малое время, приближающееся к нулю, поскольку в это микроскопическое количество времени мы чрезвычайно близко подходим к его скорости в данной точке пространства и времени, что и составляет нашу цель.

Рис. 11.3. Бесконечно короткий путь

В течение этого бесконечно малого времени человек продвинется очень ненамного. Хотя доля секунды коротка, мы все равно можем сказать, что он продвинулся на некоторое расстояние, и, коль скоро никто не пытается действительно точно измерять это расстояние, мы можем говорить, что измеряем расстояние и время в одной точке. Поскольку скорость – это расстояние, деленное на время, мы получаем скорость более или менее в одной данной точке.

Но, возможно, вы очень придирчивый читатель или физик и говорите, что это невозможно. Одна миллиардная сантиметра – это все еще расстояние между двумя точками, а не одна точка. Я представляю себе, что Ньютон сказал бы: «Мы еще не закончили эксперимент. Доведем эксперимент до предела во времени, когда количество времени приближается к нулю. Когда мы подходим к нулевому времени движения, мы как раз и будем примерно в одной точке».

Математиков не беспокоит, можете ли вы на самом деле что-либо измерить; они просто стараются быть как можно более последовательными. Поэтому Ньютон разработал идею скорости в точке: скорость – это пройденное пространство, деленное на время, когда количество времени, требуемое для этого маленького путешествия, приближается к нулю. Повторим это еще раз:

В пределе, когда расстояние и время между двумя точками становятся очень малыми и приближаются к нулю, расстояние, деленное на время, представляет собой скорость в любой данной точке.

Это понятие предельного перехода позволяло Ньютону говорить, что скорость в данной точке можно определять путем деления расстояния на время, когда это время, в пределе, приближается к нулю (точное выражение Ньютона дано в примечании 2).

Возможно, вас интересует, почему я трачу так много времени, говоря об этих подробностях. Большинство физиков и математиков довольствуются тем, что сказано выше. Мы определили скорость в точке – это отношение расстояния ко времени, когда рассматриваемое время приближается к нулю. Мы дали некоторые советы относительно приблизительного измерения скорости – использовать точные линейку и часы и делать все, что в ваших силах. Чего же еще можно хотеть?

Но нам все еще есть, о чем задумываться. Я хочу знать больше о том, что в точности происходит, когда мы переходим от движения между двумя местами к плавному движению в данной точке. Сегодня нам известно, что измерение малых расстояний представляет собой проблему. Когда мы доходим до мгновенных и точных положений, нам приходится измерять вещи размером с атомы, которые даже невозможно увидеть. Когда вещи так малы, мы не можем измерять точно. Нам препятствует физическая реальность.

Иными словами, такой вещи, как точка, не существует! Точка – это понятие общепринятой реальности, плод математического воображения. В физической реальности не существует точек. То, что мы когда-то считали точкой, на самом деле содержит в себе миллионы атомов.

Тем не менее, чисто математическое мышление, в отличие от физики, не привязано к измерениям. Математика может свободно странствовать в сфере идей. И математика предполагает, что существует нечто вроде скорости в данной точке, даже хотя мы знаем, что в общепринятой реальности мы, в лучшем случае, можем получать среднюю скорость движения между двумя точками, когда время движения крайне мало. Понятие скорости в точке – это фантазия, а не реальность.

Лейбниц и Ньютон выбирались из этого безвыходного положения говоря, что когда время, используемое нами для измерения, становится все меньше, в пределе, когда количество времени приближается к нулю, возникает совершенно новый мир. Какого рода мир? Мир, в котором больше не нужно измерять что-либо между двумя точками и следует интересоваться только плавным движением в самой точке. Ньютон называл плавное движение или скорость в данной точке «флюксией», что означает «течение» или «поток»3. Ньютон совершал переход из мира больших шагов к меньшим шагам, потом к крохотным шагам и, наконец, к плавному движению – флюксии.

Позднее математики заменили термин Ньютона «флюксия» на «производную». Эта смена названия означает, что изучающие исчисление больше не слышат термин «флюксия» и рискуют забыть, что производные применяются к миру течения. Точнее говоря, флюксия или производная определяется в той таинственной точке, где мир постепенного движения сливается с миром непрерывного изменения.

Производная – это суть исчисления, математическое описание движения, имеющее решающее значение для всей науки и, в особенности, для физики. На этом этапе вы уже усвоили основы исчисления. Нам просто нужно помнить, что флюксия, позднее названная производной, представляет собой темп изменения чего-либо (например, расстояния) в данной точке в терминах чего-либо другого (например, времени).

Источник