что такое перпендикулярные прямые в геометрии
Определение перпендикулярных прямых, их свойства, характеристика
Содержание:
В геометрии существует понятие параллельных и перпендикулярных прямых. Ко вторым относится особый вид пересечения простейших геометрических фигур. Рассмотрим, какие прямые называются перпендикулярными. После теоретической выкладки материала научим правильно чертить такие чертежи при помощи угольника. Также разберёмся, что такое перпендикуляр к прямой, его свойства, обозначение.
Перпендикулярные прямые: определение, свойства
Теперь вы понимаете, что значит перпендикулярные прямые.
Дана линия a (AB) и не лежащая на ней точка C. Соединяющий их отрезок CD называется перпендикулярным, если отрезок CD образует с AB прямые углы. Точка D – основание перпендикуляра.
Способы построения
Второй способ сложнее. Дана линия m с лежащей на ней точкой M: M ∈ m. Построить отрезок PQ, проходящий через точку M и пересекающий m под прямым углом.
Теперь разберёмся, как доказать, что отрезки (прямые) перпендикулярны. Для этого рассмотрим треугольник APB или AQB (из условий задачи они одинаковые).
Две стороны простейшего многоугольника построены по радиусам одинаковых кругов, значит, они равны по длине – получаем равнобедренный треугольник, где AP = PB. Из условий задачи AM = BM, значит MP – медиана равнобедренного треугольника (исходя из определения этого термина). Отрезок PM – высота геометрической фигуры, она перпендикулярна основанию: PM ⟂ AB, что требовалось доказать.
Проводим линию m и не лежащую на ней точку M. Рисуем окружность с центром M, пересекающую m в паре точек: A, B.
Чертим окружности с центрами в A и B, пересекающие M. Симметричную ей относительно прямой m точку обозначим N. Соединим их отрезком MN.
Докажем перпендикулярность MN линии m.
В треугольниках ANM с BNM равны стороны: AN = NB = AM = NB, AB – общая. Если три стороны треугольников равны, значит геометрические фигуры одинаковые: ∠АМС = ∠ВМС. Отрезки MC и CN – биссектрисы треугольников, где AB – основание. Далее, исходя из свойств равнобедренного треугольника, MC и CN – высоты геометрической фигуры, они перпендикулярны основанию. Получается, AB ⟂ MN.
Задача
Мы доказали, что CE ⟂ a.
Последний шаг: покажем, что из точки C к прямой a нельзя провести более одного перпендикуляра.
Предположим: из точки С на прямую a возможно опустить второй перпендикуляр CD1. Тогда получим △CDD1 уже с парой прямых углов, что невозможно – у треугольника более одного прямого угла быть не может. Значит, из точки C нельзя опустить более одного перпендикуляра.
Исходя из рассмотренного материала, следует закономерное свойство двух прямых a и b, перпендикулярных к третьей c: между собой они параллельны: a||b.
Перпендикулярные отрезки – это отрезки, пересекающиеся под углом 90°.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ранее вы уже познакомились с прямыми и выяснили, что они могут пересекаться или не пересекаться.
Сегодня мы продолжим изучать пересекающиеся прямые, которые являются перпендикулярными.
Введём понятие «перпендикулярные прямые».
Для этого рассмотрим две пересекающиеся прямые а и b. Они образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из этих углов будет прямой, то остальные тоже будут прямые, т.к.
∠1 и ∠2 – смежные (по определению смежных углов),
∠1 +∠2=180°(по свойству смежных углов),
∠1 =∠ 3 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов),
∠2 =∠ 4 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов).
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.
Обозначение перпендикулярных прямых:
Построим перпендикулярные прямые.
Для этого воспользуемся чертёжным угольником и линейкой, как изображено на рисунке.
Рассмотрим свойство перпендикулярных прямых.
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Рассмотрим прямые АА1 и ВВ1, перпендикулярные к прямой РQ. Мысленно перегнем плоскость по прямой РQтак, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА1, аналогично, луч QB наложится на луч QB1.
Предположим, что прямые АА1 и ВВ1пересекаются в точке М.
Мысленно перегнем плоскость по прямой РQ, точка М накладывается на точку М1.
Через точки М и М1 проходят две прямые АА1 и ВВ1, что неверно. Следовательно, предположение, что прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых), следовательно, прямые АА1 и ВВ1 один не пересекаются. Что и требовалось доказать.
Данный метод доказательства называют методом от противного. Суть этого метода заключается в том, что предполагают противоположное тому, что требуется доказать. Исходя из предположения, путём рассуждений приходят к противоречию.
Этим методом можно воспользоваться для доказательства теоремыо единственности перпендикуляра к прямой.
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести не более одного перпендикуляра к этой прямой.
Доказательство. Пустьточка не лежит на данной прямой a. Докажем, что из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямойaтак, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку B. Получается, что отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.
Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, H и B лежат на одной прямой, и также точки A, K и B лежат на одной прямой.
Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но это невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых). Следовательно, из точки A можно провести единственный перпендикуляр к прямой а.
Итак, сегодня получили представление о том, что такое перпендикулярные прямые, рассмотрели свойства перпендикулярных прямых, научились строить и обозначать перпендикулярные прямые, узнали о методе доказательства от противного.
Рассмотрим более сложный метод построения прямых углов на местности.
Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, например, теодолит (в геодезии).
Но самый простой прибор для построения прямых углов на местности – это экер. Он состоит из двух брусков расположенных под углом 90° и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвоздитак, что прямые, проходящие через них, перпендикулярны. Рассмотрим, как с его помощью построить прямые углы. На заданном луче, в нашем случае ОА, устанавливают экер так, что отвес находится точно над точкойО, а направление одного из брусков совпадает с лучом ОА, совмещение помогает осуществить веха, поставленная на луче ОА. Далее провешивают прямую с помощью другого бруска, получается ∠АОВ =90°.
1. Прямые СА и ВD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Луч ОК – проведён из вершины прямого угла АОВ, так что∠КОВ = 52°. Найдите градусную меру ∠АОК.
Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи:
2. Прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, найдите ∠МОВ, если ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD= ∠МОВ.
Решение. Т.к. прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, то ∠СОD = 90°
По условию задачи, ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD = ∠МОВ.
∠ СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 25° + 25° +2·∠МОВ = 50° + 2 · ∠МОВ = 90°
Перпендикулярные прямые — основные свойства, признаки и правила построения
В геометрии распространено понятие прямых. Они обозначаются двумя большими латинскими буквами или одной маленькой. При построении линии могут пересекаться и иметь только одну общую точку. Взаимно перпендикулярные прямые находятся относительно друг друга под углом 90°. Построение проводится при применении специальных инструментов.
Основные свойства
При рассмотрении того, какие прямые называют перпендикулярными, нужно уделить внимание свойствам. Они выглядят следующим образом:
Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥». В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.
Доказательство взаимного расположения
Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:
Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.
Определение перпендикулярности прямой и плоскости
Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.
Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:
Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.
Построение перпендикуляра
Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:
Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:
В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.
Трехмерное пространство
В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:
В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.
Четырехмерная система координат и лемма
Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.
Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:
Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.
Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:
При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.
Применение термина
Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.
В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.
В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.
Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.
Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.
Основные свойства
При рассмотрении того, какие прямые называют перпендикулярными, нужно уделить внимание свойствам. Они выглядят следующим образом:
Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥». В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.
Доказательство взаимного расположения
Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:
Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.
Определение перпендикулярности прямой и плоскости
Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.
Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:
Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.
Построение перпендикуляра
Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:
Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:
В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.
Трехмерное пространство
В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:
В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.
Четырехмерная система координат и лемма
Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.
Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:
Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.
Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:
При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.
Применение термина
Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.
В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.
В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.
Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.
Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Параллельные и перпендикулярные прямые
Перечень рассматриваемых вопросов:
Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Перпендикулярные прямые – две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Углы, изображенные на рисунке:
Накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6.
Соответственные: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 8; 4 и 7.
Односторонние: 3 и 6; 4 и 5.
Признаки и свойства параллельных прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Это признаки параллельности прямых. Обратные теоремы верны и представляют свойства параллельных прямых.
Способ построения параллельных прямых:
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре прямых угла, они называются перпендикулярными.
Прямые а и b на рисунке перпендикулярны: а ⏊ b.
Через каждую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной и притом только одну.
Это можно сделать, пользуясь угольником или транспортиром.
Перпендикулярность и параллельность прямых.
Две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются т. е параллельны между собой.
Отрезок АВ, перпендикулярный к прямой а, называют перпендикуляром. Точка В – основание перпендикуляра.
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую и притом только один.
Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а.
Расстоянием между параллельными прямыми называют расстояние АВ от любой точки одной прямой до другой прямой.
Разбор заданий тренировочного модуля.
№ 2. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.