что такое операции отношения в математике

Отношение (математика)

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.

Отношение может также означать результат операции деления, например:

Содержание

Формальное определение

n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах , называется подмножество прямого произведения этих множеств.

Иногда понятие отношения определяется только для частного случая для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:

.

Арность

Примеры

Отношения и предикаты

Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени множества M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1 (или «истинно»). Таким образом, можно дать альтернативное определение отношения: если задано отображение , то отношением называется прообраз единицы в . Такое определение бывает полезно в информатике и математической логике.

Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов. [1]

Операции с отношениями

Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).

Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда, алгебре кортежей и реляционной алгебре.

См. также

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Отношение (математика)» в других словарях:

Отношение (логика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение. Отношение в логике первого порядка двух и более аргументный предикат (многоместный предикат), двух и более предикатное свойство. Знак отношения: R.[уточнить] В терминах отношений… … Википедия

МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия

ОТНОШЕНИЕ — в логике то, что в отличие от свойства характеризует не отдельный предмет, а пару, тройку и т.д. предметов. Традиционная логика не рассматривала О.; в современной логике О. пропозициональная функция от двух или большего числа переменных. Бинарным … Философская энциклопедия

МАТЕМАТИКА — Между духом и материей посредничает математика. Хуго Штейнхаус Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Джордж Сантаяна Он стал поэтом для математика у него не хватало фантазии. Давид Гильберт об одном… … Сводная энциклопедия афоризмов

МАТЕМАТИКА — Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… … Энциклопедия Кольера

Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

МАТЕМАТИКА — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что это… … Математическая энциклопедия

Математика инков — Кипукамайок из книги Гуамана Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление». Слева у ног кипукамайока юпана, содержащая вычисления священного числа для песни «Сумак Ньюста» (в оригинале рукописи рисунок не цветной, а чёрно белый;… … Википедия

Математика майя — Цифры майя Математика майя в своей основе использовала двадцатеричную систему счисления для записи чисел. Вычисления производились на специальном приспособлении (наподобие абака), счётными единицами которых служили какао бобы или различные по… … Википедия

Источник

Отношения. Часть I

Формальная теория моделирования использует алгебраические отношения, включая их в сигнатуры моделей алгебраических структур, которыми описывает реальные физические, технические и информационные объекты, процессы их функционирования. К числу последних я отношу, например, базы данных (реляционные базы данных (РеБД)). Не менее важной считаю область принятия решений, которая состоит из двух основных статистической и алгебраической, основанной целиком на теории отношений. Образовательный уровень специалистов в этой теории близок к нулю.

Откройте учебник по специализации и там увидите в лучшем случае об эквивалентностях, которые авторами трактуются весьма своеобразно. Одного защитившегося уже ДТН спрашиваю: Вы рассматриваете отношение эквивалентности на указывая ни носителя отношения, ни конкретного отношения, как оно у Вас выглядит в записи? Ответ: как выглядит — обыкновенно. Выясняется, что он обо всем этом имеет весьма смутное представление.

Публикаций по проектированию РеБД, кроме иностранных статей назвать затрудняюсь. В 90-х годах был оппонентом, писал отзыв на диссертацию, где рассматривались и иерархические, и сетевые, и реляционные БД. Но как-то год, полтора назад опять на отзыв пришла работа, автор пишет уже только о РеБД, о нормализации отношений БД, но теоретической новизны не показал. Во многих ВУЗах читается курс о базах данных, но не о том, как их создать, создать СУБД, а как правило, о том как эксплуатировать готовую (зарубежную) БД.

Преп. состав не готов научить специалистов IТ-шников создавать отечественные СУБД, ОS, языки программирования, я уж не говорю о БИС, СБИС, заказных БИС. Здесь, по-видимому, поезд ушел давно и надолго. Так что напрасно надуваются у некоторых щеки от гордости (читай снобизма) это видно по комментариям к чужим публикациям, покажите сами, что можете, а не балуйтесь никчемными переводами и перепевками чужого ради предмета гордости — «рейтинга» и «кармы». Сказывается не только отсутствие креатива, но простой образованности и воспитания.

Вторая предметная область неразрывно, связанная с отношениями, — принятие решений. Каждый из нас постоянно занят этим. Мы без решения осознанного или неосознанного пальцем не пошевелим. Мало кто понимает, а еще меньше пишет о решениях. В основе решения любого ЛПР (лица, принимающего решение) лежит предпочтение альтернатив. А моделью предпочтения как раз и является такой тип отношений, который назван «пространством отношений предпочтения». Но кто их изучает. Когда я пришел к «специалисту» по отношениям с вопросом о количестве отношений каждого типа, он не зная ответа, «убил» встречным вопросом, а зачем это Вам?

Понятие отношения

Думаю, что термин отношение знаком каждому читателю, но просьба дать определение поставит большинство в тупик. Причин для этого много. Они чаще всего в преподавателях, которые, если и использовали отношения в процессе преподавания, внимания на этом термине не заостряли, запоминающихся примеров, по-видимому, не приводили.

В моей памяти есть несколько на всю жизнь запомнившихся примеров. Об отображениях и об отношениях. Расскажу вначале об отображениях. Имеется два ведерка с краской. В одном белая в другом — черная. И есть коробка с кубиками (очень много). Грани имеют рельефные номера. Сколькими способами можно раскрасить грани кубиков в два цвета? Ответ неожиданный — столькими, сколько 6-разрядных двоичных чисел, или 2 6 = 64. Поясню подробнее ф: 2→6 отображаются 2 объекта в 6. Каждая строчка таблицы- дискретное отображение фi.

Построим таблицу с 6 колонками и краскам сопоставим число белая — нуль, черная — единица, а граням кубика колонки. Начинаем с того, что все 6 граней белые — это 6-мерный нулевой вектор. Вторая строчка одна грань черная, т. е. младший разряд заполнен 1. и так до исчерпания 6-разрядных двоичных чисел. Кубики ставим в общий длинный ряд. У каждого из них как бы появился номер от 0 до 63.

Теперь отображение наоборот. Пачка листов бумаги (много) и 6 красок (фломастеры).
Фломастерами разного цвета надо пометить обе стороны бумажных листов. Сколько листов потребуется. Ответ f: 6 → 2 или 6 2 =36. Речь идет о произвольных отображениях.

Получили 9 упорядоченных пар элементов из А×А, в паре первый элемент из первого сомножителя, второй — из второго. Теперь попробуем получить все подмножества из декартова квадрата А×А. Вначале простенький пример.

Подмножества будут содержать из А×А разное количество элементов (пар): одну, две, три и так до всех 9 пар, включаем в этот список и пустое множество (Ø). Сколько же получилось подмножеств? Много, а именно 2 9 = 512 элементов.

Определение. Любое подмножество декартова произведения (у нас квадрата) множества называется отношением. Заметим, в произведении используется одно и то же множество. Если множества разные, возникает не отношение, а соответствие.

Символ отношения ставится слева от элементов R(x, y) или между ними x R y; х, у є А.
Определение Множество всех подмножеств множества А называется булеаном. Наш булеан состоит из 2 |А×А| элементов, здесь|А×А| — мощность множества.

Отношения можно задавать в разном представлении над А=:

Рисунок 1.2. а)Матрица 4×4 бинарного отношения б) нумерация клеток Матрицы

Здесь используются номера клеток, заполненные единицами на рис. 1б)
— Векторное представление. Двоичный вектор для представления бинарного отношения формируется из элементов <0,1>следующим образом:

Рассмотренный пример задания отношения в векторной форме будет иметь следующий вид:

— Представление графом. Поставим в соответствие элементам множества
А = точки на плоскости, т.е. вершины графа G = [Q, R].

Проведем в графе дугу от (xi) к (xj) тогда и только тогда, когда пара (xi,xj) є R (при i = j дуга (xi,xi) превращается в петлю при вершине (xi). Пример (рис. 1а) представления бинарного отношения A[4×4] графом изображен на рис.2.2.

Рисунок 2.2. Представление отношения ориентированным графом

Каталог бинарных отношений (n = 3)

Большое видится на расстоянии. Чтобы почувствовать отношения их разнообразие, мощность мне пришлось вручную создать каталог бинарных отношений над множеством из 3-х элементов, который включил все (боле 500 отношений) отношения. После этого «дошло» или «зашло»об отношениях.

Очевидно, что в каталог войдут 2 3×3 = 2 9 отношений, и каждое из них снабдим набором присущих им свойств. Ниже (табл. 3) приводится полный список всех 512 отношений над множеством А, |A| = 3, из трех элементов. Приводятся также результаты подсчета количества отношений (табл. 2), представленных сочетаниями номеров клеток декартова квадрата 3×3, различных подклассов для различных значений мощности множества-носителя (n = 3). Для каждого отношения указаны его основные свойства и принадлежность типу (табл. 3). Сокращения, используемые в каталоге раскрываются таблицей 2
Таблица 2. Количественные характеристики каталога при разных n

Сущность производимых операций с отношениями и их технику удобно пояснять на примерах, которые особенно просты и понятны для бинарных отношений. В операциях могут участвовать, два и/или более отношений. Операции, выполняемые над отдельными отношениями – унарные операции. Например, операции обращения (получение обратного) отношения, взятие дополнения, сужение (ограничение) отношения. Как пользоваться каталогом поясним примером примером.

Пример 2. Рассмотрим строку Nпр =14 таблицы каталога. Она имеет вид

Первые 9 символов строки (справа от равенства) — это двоичный вектор, соответствующий сочетанию из 9 по 2, а именно, номер первой клетки (отсчет слева направо) номер 5-й клетки матрицы бинарного отношения, т.е. элементы а1а1= а2а2 =1. Это сочетание имеет порядковый номер Ncч = 4 и сквозной номер Nпр = 14 в списке всех отношений. В остальных позициях этой строки стоят либо нули, либо единицы. Нули свидетельствуют об отсутствии свойства, соответствующего названию колонки нуля, а единицы – наличие такого свойства у рассматриваемого отношения.

Свойства и количественные характеристики отношений

Рассмотрим наиболее важные свойства отношений, которые позволят в дальнейшем выделить типы (классы) отношений, применяющиеся в реляционных базах данных в теории выбора и принятия решений и других приложениях. Далее будем обозначать отношение символом [R,Ω]. R- имя отношения, Ω — множество-носитель отношения.

1. Рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в отношении R сам с собой (рис. 2.3). Граф рефлексивного БО имеет во всех вершинах петли (дуги), а матрица отношения содержит (Е) единичную главную диагональ.

Рисунок 2.3. Рефлексивное отношение

2. Антирефлексивность. Отношение [R,Ω] называется антирефлексивным, если ни один элемент из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.4). Антирефлексивные отношения называют строгими.

Рисунок 2.4. Антирефлексивное отношение

3. Частичная рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется частично
рефлексивным, если один или более элементов из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.5).

4. Симметричность. Отношение [R,Ω] называется симметричным, если вместе с упорядоченной парой (х, у) отношение содержит и упорядоченную пару (у, х) (рис. 2.6).

7. Транзитивность. Отношение [R,Ω] называется транзитивным, если для всяких упорядоченных пар (х, у),(у, z) є R, в отношении R найдется упорядоченная пара (х, z) є R или если R×R⊆R (рис. 2.9).

8. Цикличность. Отношение [R,Ω] называется циклическим, если для его элементов найдется подмножество элементов , для которого можно выписать последовательность xiRxi+1R. RxjRxi. Такая последовательность называется циклом или контуром (рис. 2.10).

9. Ацикличность. Отношения, в которых отсутствуют контуры называются, ациклическими. Для ациклических отношений выполняется соотношение R k ∩R = Ø для любого k > 1 (рис. 2.11).

10. Полнота (связность). Отношение [R,Ω] называется полным (связным), если для любых двух элементов (у, z) є Ω один из них находится в отношении с другим (рис 2.12). Линейность. Линейные отношения – это минимально полные отношения.

Рисунок 2.12. Линейное отношение

Итак, нами установлено, что отношения, как математические объекты, обладают определенными свойствами, определение которых приведены ранее. В следующем пункте рассмотрим существо и проявление некоторых свойств:

Количественные соотношения таких дискретных пространств представляют большой как
теоретический, так и практический интерес. Ниже рассматриваются некоторые аспекты количественных характеристик, связанных со свойствами отношений разных типов.

Операции над отношениями

Как и большинстве систем счисления с отношениями выполняются операции:

Выше было введено понятие бинарного отношения, как подмножества упорядоченных пар декартова произведения множеств, а также были рассмотрены свойства отношений. Кроме того, были упомянуты бинарные отношения и матричное представление отношений. Рассмотрим теперь понятие отношения более подробно, кроме того, рассмотрим основные операции бинарных отношений, наиболее важные из всего их множества для отношений.

Для них должны выполняться следующие условия:

Унарные операции над отношениями

9. Двойственное отношение (P d ) к отношению Р – отношение, образованное всеми теми парами, которые принадлежат универсальному отношению и не принадлежат обратному отношению (дополнение к обратному):

Двойственное и обратное отношения в совокупности содержат все пары декартова произведения A×A и не имеют общих пар, они также как и отношения Р и P образуют разбиение A×A

Сужение (РА1). Отношение [R1, A1] называется сужением отношения [R, A] на множество Ω1, если Ω1⊆ Ω и R1=R∩Ω1×Ω1. Отношение РА1 на множестве А1 ⊆ А – отношение РА1 на множестве А1, образованное всеми теми парами, которые принадлежат отношению Р и одновременно входят в состав декартова произведения А1 × А1. Другими словами, РА1 – пересечение отношений Р и А1×А1. Пусть А1 = , тогда для отношений Р и Q в матричной форме отношения сужения будут иметь вид:

Операции, требующие не менее двух отношений – n-арные (n-местные). В таких операциях могут участвовать отношения только одинаковой арности. Примеры таких операций: пересечение, объединение, разность, симметрическая разность отношений и некоторые другие. Если в операции используется более чем два отношения, то она выполняется последовательно для двух первых, а затем для итогового отношения и третьего и т.д.

Иначе говоря, эти операции определены для двух отношений. При операциях над отношениями предполагается, что области задания отношений (операндов и результата) совпадают, арности отношений совпадают, и результатом операции снова является отношение той же арности. В качестве примеров будем рассматривать операции над бинарными отношениями P и Q, заданными на дискретном множестве
А = булевыми матрицами (нули в матрицу, как правило, не вписываются):

1. Пересечение (P ∩ Q) – отношение, образованное всеми теми парами элементов из А, которые входят в оба отношения, т.е. общие для P и Q,
P ∩ Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P) & ((ai aj) є Q)>.

Матрица отношения P ∩ Q получается как булево пересечение матриц P и Q:

При отсутствии таких общих пар говорят, что пересечение отношений пусто, т.е. оно является нуль-отношением. Пересечением отношений R1 и R2 (R1∩R2 ) называется отношение, определяемое пересечением соответствующих подмножеств из А×А.

2. Объединение (PUQ). Объединением отношений R1 и R2 (R1UR2 ) называется отношение, определяемое объединением соответствующих подмножеств из А×А. Отношение, образованное всеми парами, составляющими или отношение P, или отношение Q, т.е. парами, принадлежащими хотя бы одному из отношений (связка ∨ — или объединительная)
P U Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P) ∨ ( (ai aj) є Q)>.

Если в множестве А×А нет других пар, не вошедших в отношение PUQ, а пересечение их нулевое, то говорят, что отношения P и Q при объединении образуют полное отношение А×А, а их система – разбиение этого полного отношения. Объединение матриц отношений образуется как булева сумма матриц отношений:

3.Разность (P\Q) – отношение, образованное теми парами из Р, которые не входят в отношение Q
P\Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P)&((ai aj)∉Q)>.

Разность для отношений в матричном представлении имеет вид

4. Умножение отношений. Упорядоченные пары, образующие отношения могут содержать одинаковые элементы, а могут и не содержать. Среди пар, имеющих в своем составе одинаковые элементы, выделим такие упорядоченные пары, которые назовем смежными (примыкающими) и которые имеют во второй паре 1-й элемент, а в первой паре 2-й элемент один и тот же. Определим произведение смежных пар как упорядоченную пару:
( ai ak)∙( ak aj) => (ai aj).

В терминах теории графов сказанное означает, что смежные пары образуют маршрут из точки (ai) в точку (aj) транзитом через точку (ak), состоящий из 2-х смежных дуг. Произведение этих дуг – третья дуга из точки (ai) в точку (aj), реализующая переход между крайними точками маршрута в том же направлении, минуя промежуточную точку (ak). Говорят, что дуга (ai aj) замыкает эти точки напрямую.

5. Симметрическая разность (P∆Q) – отношение, образованное теми парами, которые входят в объединение PUQ, но не входят в пересечение P∩Q. Другая форма определения объясняет название операции: P∆Q образовано теми упорядоченными парами, которые являются объединением разностей P\Q и Q\P. Таким образом, выражение для симметрической разности записывается двумя разными способами:
P∆ Q = (PU Q)\(P ∩ Q) = (P\Q)U (Q\P).

Матрица симметрической разности имеет вид:

Из последней записи следует, что операция симметрической разности допускает перестановку операндов, т. е. коммутативна.

5. Композиция или произведение (P∙Q) – отношение, образованное всеми парами, для которых выполняется:
P∙Q = <(ai aj)|((ai ak) є P) & ((ak aj) є Q)>.

Другими словами, каждая упорядоченная пара в результирующем отношении есть результат умножения смежных пар, из которых 1-я пара принадлежит первому сомножителю-отношению, 2-я – второму сомножителю-отношению. Операция композиции не коммутативна.

Композиция (Р◦Q) на множестве М – отношение R, заданное на том же множестве М, которое содержит пару (x, y), когда существует Z є M такое, что (x, z) є P и (z, y) є Q.

При матричном представлении отношений матрица композиции отношений равна булеву произведению матриц исходных отношений:

Частный случай композиции отношений – квадрат отношения.

Можно показать, используя индукцию, что n-я степень отношения определяется рекуррентно по формуле:P n =P n-1 ◦Р, это означает, что пара (x,y) є P n в том случае, когда в матрице Р существует цепочка элементов: такая, что (xi, xi+1)є P, 1 Литература

Источник