Что такое форма эллипса
Чем отличается эллипс от овала?
Чем отличается эллипс от овала? Данный вопрос часто остается без ответа — хоть эти две фигуры и знакомы всем еще со школьных времен. Но мало кто понимает, в чем разница между ними. И существуют ли вообще какие-либо отличия.
В чем различие?
Официальные определения каждой из фигур звучат достаточно сложно и непонятно.
Но, если откинуть заумные формулы и сложные определения — все намного проще.
Овал можно «растянуть» как угодно. Это может быть практически круг, либо узкая и длинная замкнутая кривая — главное, чтобы ее форма удовлетворяла определению.
Где а — это длинная полуось, b — короткая, а с — фокальное расстояние (от центра до фокуса).
Всем известный круг — это частный вариант эллипса. В этом случае с=0 (т.к. фокус у него один). Полуоси (радиусы) тоже равны.
Построение овалов и эллипсов
Казалось бы, а зачем их вообще строить?
Земная орбита имеет форму эллипса (траектории движения остальных планет и галактик аналогичны).
Практически в любой технике имеются круглые детали — а они при переведении в трехмерную проекцию будут изображаться в форме замкнутых кривых. Подобные примеры можно приводить бесконечно.
Поэтому в технике, космонавтике, астрономии, архитектуре и многих других научных отраслях разнообразные овалы приходится строить регулярно. Эти знания применяют даже люди, далекие от сложных вычислений — например, художники.
Для того чтобы начертить любую из этих фигур, потребуется лишь циркуль, транспортир и линейка. Сам процесс особых сложностей не вызывает, главное внимательность и точность.
На фото ниже приведен пример построения эллипса в аксонометрии (изометрия).
Формулы и интересные факты
Хоть эти две фигуры и встречаются повсеместно, они до конца не изучены. В школьном курсе их проходят довольно поверхностно, не упоминая о возможных трудностях.
Овалы часто заменяют «правильными» эллипсами, так как с ними работать проще. Но даже в этом случае возникают сложности.
Так, казалось бы, простая задача — вычислить периметр — на самом деле невыполнима. Точной формулы не существует. Это связано с тем, что каждая точка имеет свой собственный радиус кривизны.
Школьникам и людям, далеким от точных вычислений, дают приблизительную формулу. Погрешность у такого результата будет велика, но для примитивных целей это допустимо.
В серьезных расчетах используются совсем другие формулы. Но даже они не дают желаемого результата, так как имеют достаточно большие отклонения от реальных значений.
Так, при расчете траектории движения космического корабля погрешность может достигать нескольких тысяч километров (на дальних расстояниях), а это слишком много. Поэтому поиски «идеальной» формулы ведутся до сих пор.
Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.
Определение и элементы эллипса
Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.
По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:
Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.
Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.
Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.
Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.
Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.
Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.
Основные свойства эллипса
имеются две оси и один центр симметрии;
при равенстве полуосей линия превращается в окружность;
все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.
Уравнение эллипса
Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.
Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:
а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);
c – половина фокального расстояния;
M(x;y) – произвольная точка линии.
В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)
После ввода ещё одного обозначения
получается наиболее простой вид уравнения:
Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).
В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:
Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.
Площадь эллипса
Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:
a – большая полуось, b – малая.
Площадь сегмента эллипса
Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.
Длина дуги эллипса
Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:
Радиус круга, вписанного в эллипс
В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:
Радиус круга, описанного вокруг эллипса
Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:
Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.
Как построить эллипс
Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.
Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:
Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.
Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.
При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.
Эллипс и его свойства
Содержание статьи:
Определение и элементы эллипса
Он имеет два фокуса. Это такие точки, сумма расстояний от которых до любой P(x,y) есть постоянная величина. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра.
Эллипс
Элементы:
Теорема. Фокусное расстояние c и полуоси эллипса связаны соотношением:
Основные свойства эллипсa
Уравнение
Радиус круга вписанного в эллипс
Круг, вписанный в эллипс касается только двух вершин эллипсa B1 и B2. Соответственно, радиус вписанного круга будет равен длине малой полуоси эллипсa r = b.
Радиус круга описанного вокруг эллипсa
Круг, описанный вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A1 и A2. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa R = a.
Как построить эллипс
П е р в ы й с п о с о б.
Сумма расстояний от любой точки эллипсa до его фокусов величина постоянная равная 2а.
В т о р о й с п о с о б.
Эксцентриситет эллипса
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая равна отношению е = с/a называется эксцентриситетом, характеризует вытянутость фигуры. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем линия больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
Пример 2. Дана кривая 9x 2 + 25y 2 = 225. Найти: 1) показать, что это эллипс, найти его полуоси 2) эксцентриситет 3) директрисы.
Разделим обе стороны на 225
сократим, получим каноническое уравнение эллипса
4) уравнение директрис x = ±a/e =±5*5/4=±25/4.
Пример 3. Эксцентриситет e = 1/3, центр его совпадает с началом координат, F1 (-2;0). Вычислить расстояние от точки M1 с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.
Пример 4. Определить точки эллипса x 2 /100+y 2 /36 =1, расстояние от которых до F2 равно 14. Найти директрисы.
Автор статьи Степанов Владимир 
Эллипс и его свойства
причём
Также эллипс можно определить как:
Содержание
Связанные определения
Соотношения между элементами фигуры
.
| | | | | | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| — большая полуось | | | | | | |
| — малая полуось | | | | | | |
| — фокальное расстояние | | | | | | |
| — фокальный параметр | | | | | | |
| — перифокусное расстояние | | | | | | |
| — апофокусное расстояние | | | | | | |
Координатное представление
Длина дуги эллипса
Длина дуги плоской линии определяется по формуле:
Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:
После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:
,
Приближённые формулы для периметра
Максимальная погрешность этой формулы
0,63 % при эксцентриситете эллипса
0,988 (соотношение осей
1/6,5). Погрешность всегда положительная.
Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:
, где
Максимальная погрешность этой формулы
0,36 % при эксцентриситете эллипса
0,980 (соотношение осей
1/5). Погрешность также всегда положительная.
Существенно лучшую точность при Рамануджана :
При эксцентриситете эллипса
0,980 (соотношение осей
1/5) погрешность составляет
0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.
Еще точней оказалась вторая формула Рамануджана:
Точные формулы для периметра
Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:
где — Арифметико-геометрическое среднее 1 и , а — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.
Площадь эллипса
Площадь эллипса вычисляется по формуле
Шаблон:Нет АИ
Если эллипс задан уравнением , то площадь можно определить по формуле
.
Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры
Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.
Определение и элементы эллипса
Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.
По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:
Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.
Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.
Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.
Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.
Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.
Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.
Основные свойства эллипса
имеются две оси и один центр симметрии;
при равенстве полуосей линия превращается в окружность;
все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.
Уравнение эллипса
Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.
Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:
а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);
c – половина фокального расстояния;
M(x;y) – произвольная точка линии.
В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)
После ввода ещё одного обозначения
получается наиболее простой вид уравнения:
a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,
Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).
В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:
Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.
Площадь эллипса
Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:
a – большая полуось, b – малая.
Площадь сегмента эллипса
Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.
, где
(xo;y0) – крайняя точка сегмента.
Длина дуги эллипса
Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:
Радиус круга, вписанного в эллипс
В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:
Радиус круга, описанного вокруг эллипса
Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:
Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.
Как построить эллипс
Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.
Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:
Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.
Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.
При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.