что такое абсцисса точки ордината точки

Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт преддложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных прямых: Ох, Оу, Оz, где Оz — ось аппликат. По направлению координатных осей есть разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке О, которую называют началом. У каждой оси есть положительное направление, которое отмечается стрелкой. Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой. Объясняем на пальцах! Если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Также образуется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число x_M равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу x_M. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число x_M — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки M_x на Ох, а M_y на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения M_x и M_y.Тогда у точки M_x на оси Оx есть соответствующее число x_M, а M_y на Оу — y_M. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (x_M, y_M), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это x_M, ордината М — это y_M.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (x_M, y_M) имеет соответствующую точку на плоскости.

Координаты точки в трехмерном пространстве

Сформулируем определение точки М в трехмерном пространстве.

Пусть M_x, M_y, M_z — это проекции точки М на соответствующие оси Оx, Оy, Оz. Тогда значения этих точек на осях примут значения x_M, y_M, z_M. Как это выглядит на координатных прямых:

Чтобы получить проекции точки М, нужно добавить перпендикулярные прямые Оx, Оy, Оz, продолжить их и изобразить в виде плоскостей, которые проходят через М. Так плоскости пересекутся в M_x, M_y, M_z.

У каждой точки трехмерного пространства есть свои данные (x_M, y_M, z_M), которые являются координатами точки М.

x_M, y_M, z_M — это числа, которые являются абсциссой, ординатой и аппликатой данной точки М. Верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (x_M, y_M, z_M) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку М трехмерного пространства.

Источник

Урок 46 Бесплатно Координатная плоскость

До этого занятия мы обсуждали с вами только прямую и все, что с ней связано.

Сегодня урок посвятим изучению плоскости.

Узнаем, что называют координатной плоскостью и как получить её из обычной плоскости.

Познакомимся с прямоугольной системой координат на плоскости и разберем ее основные характеристики и особенности.

Выясним области применения и использования систем координат в практических целях и в жизни человека.

Научимся пользоваться прямоугольной системой координат на плоскости: определять координаты заданных точек и по заданным координатам точки находить ее положение на координатной плоскости.

Координатная плоскость и ее основные особенности

Представим движение автомобиля по прямолинейному участку дороги.

Любой прямолинейный участок дороги легко представить с помощью координатной прямой.

Координатная прямая позволяет нам связать точки на этой прямой с числом.

Вам уже известно, как из любой прямой получить координатную прямую.

Необходимо на прямой выбрать начало отсчета, задать направление и единичный отрезок (масштаб).

В результате с помощью координатной прямой вы однозначно определите, что конкретной точке на прямой соответствует ее единственное верное значение с соответствующим знаком.

И наоборот, если известна координата точки, то можно определить положение этой точки на координатной прямой.

Таким образом, для указания местоположения точки (в нашем случае автомобиля) на прямой нужна только одна координата на координатной оси.

В жизни часто приходится устанавливать положение точки по нескольким параметрам. В таком случае для однозначного определения положения точки требуется больше информации.

Предположим, купили мы билет на концерт.

Чтобы определить расположение конкретного кресла в зале, в билете указывают адрес места: номер ряда и номер кресла в ряду.

Так как каждому месту ставится в соответствие два числа, то для однозначного определения положения точки нам не будет хватать одной координатной прямой.

Для обозначения числами точного положения точки на плоскости используют математическую модель, которую называют координатной плоскостью.

Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо на этой плоскости задать определенную систему координат.

Существует различные системы координат.

Мы рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости.

Прямоугольной системой координат на плоскости называют систему из двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом отсчета и общей масштабной единицей.

Рассмотрим основные составляющие прямоугольной системы координат.

Единичный отрезок выбирается чаще всего одинаковый для каждой координатной оси.

Направление осей указывается стрелкой, каждая ось подписывается буквой.

Для координатных осей обычно выбирают положительное направление, т.е. «по умолчанию» принято использовать правостороннюю систему координат, в которой за положительное направление осей принимают ось ординат, направленную вверх, и ось абсцисс, направленную вправо.

Если приходится по каким-либо причинам использовать левостороннюю прямоугольную систему координат, то данный факт оговаривают в задаче.

Положение точки на плоскости определяется двумя упорядоченными числами: координатами х и y.

Координату точки на плоскости записывают так:

Например, координата точки A:

A(2;-1), где

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Чтобы запомнить порядок следования абсциссы и ординаты в записи координаты точки, часто используют такое сравнение:

Представьте, многоэтажный дом, а в нем вашу квартиру.

Чтобы попасть домой, первым делом вам необходимо зайти в нужный подъезд (координата по оси Ох), а затем подняться на нужный этаж (координата по оси Оу).

Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе быть равными нулю.

Если ордината точки равна нулю, то точка лежит на оси Ох.

Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит на оси Оу.

Нумерация координатных плоскостей ведется против часовой стрелки римскими цифрами I, II, III, IV.

Если точка имеет положительную координату х (х > 0) и положительную координату у (у > 0), то она лежит в I координатной четверти.

Если точка имеет отрицательную координату х (х 0), то она лежит во II координатной четверти.

Античные ученые, мыслители (астрономы, философы, географы) на протяжении нескольких столетий пытались создать теорию о происхождении окружающего мира и всего мироздания в целом, изобразить известные им моря, океаны, страны в чертежах, а звездное небо на карте.

Благодаря великим умам появилось огромное множество фундаментальных знаний, понятий, представлений.

Появилось представление о Земле как о шаре, о ее расположение на звездном небе; создавались все более совершенные карты и планы, методы определения географических координат; на карту наносились линии широты и долготы, сетка параллелей и меридиан.

Долгое время лишь география и астрономия пользовались данными знаниями.

В XIV веке французский философ, астроном, математик Никола Орем пытался применить метод координат к геометрии.

Одной из самых важных математических работ Орема стал «Трактат о конфигурации качеств».

Именно в этой работе он ввел графическое изображение зависимости одной величины от другой с помощью прямоугольной системы координат, называя широтой и долготой то, что сейчас называют абсциссой и ординатой.

Это нововведение стало отправной точкой создания современного метода координат.

Научному обоснованию прямоугольной системы координат мы обязаны французскому ученому, философу Рене Декарту.

Он обобщил известные на то время знания по этой теме и дал научное истолкование прямоугольной системе координат.

Предложенная им прямоугольная система координат получила его имя, ее стали называть декартовой системой координат.

Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии.

Создание аналитической геометрии позволило переводить геометрические свойства тел и кривых на алгебраический язык, вместо геометрических построений использовать расчеты; кроме того, стало возможным анализировать геометрические объекты с помощью уравнений.

Развитием координатного метода и аналитической геометрии занимался также современник Рене Декарта, знаменитый французский ученый Пьер Ферма.

Однако все научные труды Ферма были опубликованы только после его смерти

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Справочник по математике

математика, алгебра, геометрия

§ 6. Координаты

Две взаимно перпендикулярные прямые X’X и У’У (рис. 1) образуют прямоугольную систему координат. Прямые X’X и У’У называются осями координату X одна из них X’X (обычно изображаемая горизонтально) называется осью абсцисс; другая У’У — осью ординат; точка О их пересечения — началом координат. На каждой из осей произвольно выбирается масштаб.

Взяв произвольную точку М на плоскости, в которой расположены оси, найдем ее проекции Р и Q на координатные оси. Отрезок ОР на оси абсцисс, а также число х, измеряющее его в избранном масштабе, называется абсциссой точки М; отрезок OQ на оси ординат, а также измеряющее его число у — ординатой точки М. Величины х = ОР и у = OQ называют прямоугольными координатами (или просто координатами) точки М. Они считаются положительными или отрицательными в соответствии с заранее устанавливаемыми направлениями положительных отрезков на каждой из осей (обычно на оси абсцисс положительные отрезки откладываются вправо, а на оси ординат вверх).

Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел х, у. Каждой паре (действительных) чисел х, у соответствует одна точка М. Прямоугольная система координат часто называется декартовой по имени французского философа и математика Р. Декарта, широко применившего координаты к исследованию многих геометрических вопросов. Это название однако неправильно.

Декарт пользовался не двумя осями, а одной, на которой откладывались абсциссы; ординаты определялись как расстояния точек плоскости от оси абсцисс; эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно по перпендикуляру. Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. В большинстве учебников различение направлений на осях знаками + и – ошибочно приписывается Декарту, тогда как оно было введено лишь его учениками.

§ 6. Координаты : 1 комментарий

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Источник

Обычно абсцисса относится к горизонтальной оси ( x ), а ордината относится к вертикальной оси ( y ) стандартного двухмерного графика.

Абсциссой точки является подписанный мерой его проекции на первичной оси, чье абсолютное значение является расстоянием между проекцией и началом координат оси, и знак которого определяется местоположение на проекции относительно начала координат (до : отрицательный; после: положительный).

Ордината точки является подписанный мерой его проекции на вторичной оси, чье абсолютное значение является расстоянием между проекцией и началом координат оси, и знак которого определяется местоположение на проекции относительно начала координат (до : отрицательный; после: положительный).

СОДЕРЖАНИЕ

Этимология

В своей работе 1892 года « Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik» (« Лекции по истории математики »), том 2, немецкий историк математики Мориц Кантор пишет:

Gleichwohl ist durch [Stefano degli Angeli] vermuthlich ein Wort in den Mathematischen Sprachschatz eingeführt worden, welches gerade in der analytischen Geometrie sich als zukunftsreich bewährt hat. […] Wir kennen keine ältere Benutzung des Wortes Abscisse in lateinischen Originalschriften. Vielleicht Kommt Дас Сусло в Uebersetzungen дер Apollonischen Kegelschnitte VOR, WO Buch I Satz 20 из ἀποτεμνομέναις фильеры Rede ист, wofür ES Kaum Ein entsprechenderes lateinisches Сусло ALS абсцисса Гебен möchte.

Использование слова «ордината» связано с латинским выражением «linea ordinata Applicata» или «параллельная линия».

В параметрических уравнениях

Источник

Абсцисса

Абсциссой (лат. abscissa — отрезок) точки A называется координата этой точки на оси X’X в прямоугольной системе координат. Величина абсциссы точки A равна длине отрезка OB (см. рисунок). Если точка B принадлежит положительной полуоси OX, то абсцисса имеет положительное значение. Если точка B принадлежит отрицательной полуоси X’O, то абсцисса имеет отрицательное значение. Если точка A лежит на оси Y’Y, то её абсцисса равна нулю.

В прямоугольной системе координат луч (прямая) X’X называется «осью абсцисс». При построении графиков функций, ось абсцисс обычно используется как область определения функции.

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Абсцисса» в других словарях:

АБСЦИССА — (от лат. abscindere отрезывать, отделять, отрывать). 1) пространство между ординатой и точкой, положение которой определяют на плоскости. 2) отрезок. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АБСЦИССА одна из … Словарь иностранных слов русского языка

абсцисса — координата Словарь русских синонимов. абсцисса сущ., кол во синонимов: 1 • координата (4) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин … Словарь синонимов

АБСЦИССА — ж. лат. математ. часть оси правильной кривой линии, отрезанная ординатою, идущею отвесно к оси … Современная энциклопедия

АБСЦИССА — (от лат. abscissa отрезанная) одна из декартовых координат точки, обычно первая, обозначаемая буквой x … Большой Энциклопедический словарь

АБСЦИССА — АБСЦИССА, в математике расстояние от точки до оси у В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. Эта величина является х координатой в паре (х, у), которая определяет местоположение точки на плоскости … Научно-технический энциклопедический словарь

АБСЦИССА — АБСЦИССА, абсциссы, жен. (лат. abscissa, букв. отрезанная) (мат.). Горизонтальный отрезок линии от точки пересечения координатных осей до ординаты искомой точки. На диаграмме роста сети железных дорог года нанесены на оси абсцисс. Толковый… … Толковый словарь Ушакова

АБСЦИССА — жен., лат., мат. часть оси правильной кривой линии, отрезанная ординатою, идущею отвесно к оси. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

абсцисса — В картографии координата, отсчитываемая по направлению осевого меридиана … Словарь по географии

Абсцисса — (от лат. abscindere отрезать) отсеченная, одна из трех координат, определяющих положение точки в пространстве. Положим, в частности, что рассматриваемая точка M находится на плоской кривой AMB, отнесенной к двум осям ОХ в OY. Если из этой. точки… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

абсцисса — ы; ж. Матем. Величина, определяющая положение некоторой точки на плоскости или в пространстве по оси X в прямоугольной системе координат (ср. аппликата, ордината). * * * абсцисса (от лат. abscissa отрезанная), одна из декартовых координат точки … Энциклопедический словарь

Источник